固体物理05-晶格振动

第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1晶格振动的经典理论1.晶体中的格点表示原子的平衡位置。原子在格点附近作微小的振动（量子和热振动）。只有理解晶格振动才能更深入的理解固体的物理特性，如：固体热容，热膨胀，热传导，结构相变，电阻，超导等。2.由于组成晶格的原子质量较大，在很多情况下它们可以作为经典粒子处理。但在低温等一些特殊情况下，必须考虑量子效应。3.1.1一维单原子链振动晶格振动是一个复杂的多粒子问题。下面以一维的单原子链来说明晶格振动行为：考虑质量为m的同种原子组成的一维单原子链。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t时刻第n个原子偏离其平衡位置的位移为un。原子链的运动方程假设只有近邻原子间存在相互作用。在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移后势能变为V(a+δ)。将它在平衡位置附近做泰勒展开：)(21)()(320220OdVdddVaVaV1.00ddVWhy?2.展开保留到δ2（简谐近似）ddVF相邻两个原子间的相互作用力为：即两个原子间存在正比于相对位移的弹性恢复力。22dVd为（恢复）力常数第n个原子与第n-1个原子间的相对位移是：1nnuu第n个原子与第n+1个原子间的相对位移是：nnuu1)2(1111nnnnnnnnuuuuuuuum第n个原子的运动方程：若原子链中有N个原子，上式代表着N各联立的线性其次方程。方程的试探解：naqtinAequ)(A是振幅，ω是角频率，q是波数，λ是波长，naq是第n个原子的位相因子。2q][])1([])1([)(22naqtiaqntiaqntinaqtieeeAAe-m)1(cos222aqee-miaqiaqaqm21sin4解得（色散关系）将试解代入方程求解：在这个解中所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅A在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是qa。naqtinAequ)(格波解得物理含义：与连续介质的弹性波有类似的形式，但并不一样。qxtiAeqxu),(连续介质波中的x表示为空间中的任意一点，而晶格中的格波只能取na格点的位置。在格波中将aq改变2π的整数倍，原子的实际振动没有任何不同。可以将q的取值范围限制在：aqa第一布里渊区q取第一布里渊区外的值，不能提供新的波解。对于格波白色和黑色的这两种波动解是等价的（只在离散的晶格上有振动），但对连续介质波来说，这两个波是不一样的。周期性边界条件（Born-Karman边界条件）前面考虑的运动方程只适用于无穷长原子链。有限长的原子链两端的原子运动显然与内部原子运动不同。这样会使运动方程的解变得更复杂。为了避免这种复杂性Born-Karman提出了周期性边界条件：包含N个原子的环状链。当系统移动N个原子后，振动情况完全复原。周期性边界条件（Born-Karman边界条件）包含N个原子的环状链。当系统移动N个原子后，振动情况完全复原。naqtinAequ)(格波解：周期性边界条件要求：1iNaqe或Nanq2n为整数周期性边界条件（Born-Karman边界条件）周期性边界条件Nanq2n为整数2,2NNn在第一布里渊区共N个取值由N个原胞构成的一维链，q有N个取值，每个q对应一个格波，共N个格波。N个原子总共有N个自由度，表明我们已经得到了全部的振动模式。一维原子链的色散关系1stBZ长波极限：aqaq2qma布里渊区中心长波极限与连续介质波密度弹性模量amac/qc连续介质波：其中在长波极限下可以忽略晶格结构，把晶格当成连续介质布里渊区边界m4max在布里渊区边界，有最大振动频率：群速度是平均频率为ω，平均波矢为q的波包的传播速度，它是合成波能量和动量的传播速度。相速与群速qfvp相速：相速度是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。群速：dqdvg在长波极限下相速等于群速sgpvvv声速3.1.2一维双原子链振动如果原子链中存在两种不同的原子，它们的振动行为会有什么不同？设原子链中存在P和Q原子，质量分别是m和M.设P原子与Q原子的位移偏移量分别为nnnnnnnnuuuuMuuuum222121212122222和12nu它们的运动方程为（2N个联立方程组）试探解：])12([12]2[2aqntinnaqtinBeuAeunu2BAeeBMABeeAmiaqiaqiaqiaq2222将试探解代入方程得到：0)2(cos20cos2)2(22BMaqAaqBAm上述方程有解的条件是：02cos2cos2222MaqaqmaqmMMmMmm)β(MaqMmmMmMMm22222sin)(411sin4)()(最后解得方程：aqmABaqmABcos22cos2222将频率代回本征方程，得到振动的本征模式一维双原子链有两个解，两种色散关系，它们都是q的周期函数。q取值范围也在第一布里渊区内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是：aqa22a2a21.0q22)(2aqMm1sin)(422aqmMMm弹性介质波a2a21.0q22)(2aqMm1AB长声学波在长声学波中原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，我们将这种晶格振动称为声学波或声学支。a2a21.0q22MmAB长光学波在长光学波中，原胞内同种原子具有相同相位，不同种原子相位相反（相对运动）。振动时保持质心不变。光学波能对远红外光共振吸收，因而称为光学波。MmmM其中是约化质量声学模光学模思考：为什么光学模频率要比声学模频率高？横波a2a22.aq2M22m22假设M〉m光学波与声学波间存在能隙一维双原子链的周期性边界条件（N个原胞，2N个原子）：Nnnuu222NanaNnq)2(212Naqien是整数N个原胞，第一布里渊区共N个可取的q值，每个q点有2支振动模，共2N支模，与晶格的自由度一致。3.1.3三维晶格的振动考虑原胞内含有n个原子的复式晶格，n个原子的质量分别为m1,m2,…,mn。原胞以l(l1,l2,l3)标志，表明位于格点：332211)(aaaRllll原胞中各原子的平衡位置记做：偏离平衡位置的位移：nlllRRR,,2,1nllluuu,,2,1原胞中原子的运动方程：'',',2RRRlululuElumk=1，2，…，n，标明原胞中的各原子，α=1，2，3代表原子的三个位移分量。方程右端是原子位移的线性奇次函数。方程的试探解：qRAultielq和A分别是波数矢量和振幅矢量将方程的试探解带入运动方程后得到：qqq''2,ACAm3nx3n的矩阵本征值问题RqRRqieC',0,'力常数矩阵'0',02RRuuE将方程的试探解带入运动方程后得到：上述方程有解的条件是ω2的一个3n次方程，从而给出3n个解ωj。可以证明，在长波极限下(q→0)，有三个解3nx3n的矩阵本征值问题3,2,1,jqj且这三个个解的振幅Ak趋于相同，与弹性波相符。这三支模是声学模。剩余的(3n-3)支模是光学模，描述原胞内原子的相对运动。qqq''2,ACAm三维周期性边界条件：llllllNNNRuaRuRuaRuRuaRu332211333222111222hNhNhNaqaqaq321,,aaa为晶格基矢，原胞总数：321NNNN333222111bbbqNhNhNh允许的q点取值（第一布里渊区）333222111bbbqNhNhNhq点在倒空间均匀分布，每个q点占据的体积为：NNNN*332211bbb每个q点有3n支模式，总共有3nN支模，正好是nN个原子的全部自由度，即已包含所以得振动模式。Pb的格波谱Cu的格波谱无光学模Why?金刚石的振动谱声学支光学支作业1.分别画出M=m,1.5m,2m的一维双原子链的色散关系图。