2缓和曲线的性质与数学表达式

1.缓和曲线的作用与性质2.缓和曲线的布设（平曲线里程桩号计算）3.4缓和曲线教学内容：（第2讲）重点解决的问题：为什么要在直线与圆曲线中间插入缓和曲线？为什么缓和曲线采用回旋线作为其线形？3.4.1缓和曲线的作用与性质定义：缓和曲线是从半径为无穷大的直线到半径为定值的圆曲线之间的曲率逐渐变化的过渡曲线。1.缓和曲线的作用（1）曲率连续变化，便于驾驶操作（2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变（3）为设置超高和加宽提供过渡段（4）与圆曲线配合得当，美化线形3.4缓和曲线不设缓和曲线的情况设缓和曲线的情况φO（1）缓和曲线的线形的要求汽车的行驶状态假定：1）汽车作等速行驶，速度为v（m/s）；2）方向盘转动是匀速的，转动角速度为（rad/s）；当方向盘转动角度为时，前轮相应转动角度为，=k2.缓和曲线的形式——是在t时间后方向盘转动的角度，=t汽车前轮的转向角为=kωt(rad)汽车行驶轨迹的曲率半径：tandddρkωt汽车的行驶轨迹曲线半径为：tandddρkωt汽车以v等速行驶，经时间t以后，其行驶距离（弧长）为l：()dtkρρ1.kvdkvdlωωkωvdC令ρCl结论：汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数。与数学上的回旋线的性质相符Cl（2）《标准》规定：以回旋线作为缓和曲线。l=vt(m)（3）其它形式的缓和曲线①三次抛物线方程式：xC②双纽线方程式：aCCl回旋线、三次抛物线和双纽线在极角较小时的区别非常小。但随着极角的增大，回旋线的曲率半径减小得最快，而三次抛物线的曲率半径减小得最慢。缓和曲线起点：回旋线的起点l=0，ρ=∞；缓和曲线终点：回旋线某一点l＝Ls，ρ＝R。则RLs=A2YXO3.4.2缓和曲线的布设Ls1．回旋线的数学表达式我国现行《标准》规定缓和曲线采用回旋线。回旋线的基本公式表示为：ρ·l=C=A2式中：A——回旋线的参数CMRLsA回旋线的参数值为：由微分方程推导回旋线的直角坐标方程：以ρl=A2代入得：回旋线微分方程为：dβlAdl21.回旋线的数学表达式：dβAldl2βdldyβdldxdβρdlsincos对积分得：222AldβAldl22222lAl非常重要相当于圆心角的1/2对积分得：式中：——回旋线上任一点的半径方向与Y轴（切线）的夹角。2222222lAl,Al!!!753sin753把cos、sin用泰勒级数展开：dβAldl2回旋线微分方程：βdldyβdldxdβρdlsincos!!!6421cos6422222222lAl,Aldldl·dx)!6!4!21(cos642βdlAlAlAl])2(7201)2(241)2(21-1[622422222dlAlAlAl)6472038481(12128844dl(βdlβdy)!7!5!3sin753dl)Al()Al()Al(Al]25040121201261-2[72252232222dlAlAlAlAl)12850403840482(141410104622式中：——回旋线上任一点的半径方向与Y轴（切线）的夹角。dβAldl2对积分得：dl(βdlβdy)!7!5!3sin753dl)Al()Al()Al(Al]25040121201261-2[72252232222dlAlAlAlAl)12850403840482(141410104622dldl·dx)!6!4!21(cos642βdlAlAlAl])2(7201)2(241)2(21-1[622422222dlAlAlAl)6472038481(121288442222222lAl,Al对dx进行积分：dldxxcosdlAlAl)38481(88448945345640AlAll对dy进行积分：67233366AlAldldyysindlAlAlAl)3840482(10104622式中：——回旋线上任一点的半径方向与Y轴（切线）的夹角。dβAldl2对积分得：2340RLsLs在回旋线终点处，l=Ls，ρ=R，A2=RLs回旋线终点坐标计算公式：5948403456LsLsXLsAA37266336LsLsYAA2436336LsLsRR3524403456LsLsLsRR5948403456llxlAA37266336llyAA回旋线上任意点坐标计算公式回旋线终点的半径方向与Y轴（切线）的夹角0计算：llA2222LsLsAR20222（1）切线角β定义：回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（x轴）的交角。2.回旋线的几何要素lllARLs2222222.回旋线的几何要素在回旋线起点ZH或HZ点处，l=LS，切线角表示为β0RLs20（2）内移值p：)1(cos00Ryp342268824RLRLpss（3）切线增值q：00sinRxq232402RLLqssβ0（1）切线角β定义：回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（x轴）的交角。pqlllARLs222222平面线形基本组成：直线-回旋线-圆曲线-回旋线-直线。3．有缓和曲线的道路平曲线几何元素β0β0LsLsRαOq)pR(Th2tan曲线长：022180180hL()RLsRLs外距：校正值：平面线形基本组成：直线-回旋线-圆曲线-回旋线-直线。(1)曲线要素的计算公式：3．有缓和曲线的道路平曲线几何元素切线长：RpREh2sec)(Jh=2Th-Lh圆曲线(2)主点里程桩号计算方法：ZH=JD–ThHY=ZH+LsQZ=ZH+Lh/2YH=HZ–LsHZ=ZH+LhJD=QZ+Jh/2圆曲线以交点里程桩号JD为起算点：例题：已知平原区某二级公路有一弯道，JD=K2+536.48，偏角α右=15°28′30″，半径R=250m，缓和曲线长度Ls=70m要求：（1）计算曲线主点里程桩号；（2）计算曲线上每隔25m整桩号切线支距值。340.025024702422RLsp996.342502407027024022323RLsLsq565.116996.3422830.15)340.0250(2)(tgqtgpRT054.232702502830.15180180LsRL865.52502sec)340.0250(2sec)(RpREJ=2T-L=2×116.565-232.054=1.077解：（1）曲线要素计算：（2）主点里程桩号计算：以交点里程桩号为起算点：JD=K2+536.48ZH=JD–T=K2+536.48-116.565=K2+419.915HY=ZH+Ls=K2+419.915+70=K2+489.915QZ=ZH+L/2=K2+419.915+232.054/2=K2+535.942HZ=ZH+L=K2+419.915+232.054=K2+651.969YH=HZ–Ls=K2+651.97–70=K2+581.969结论1.在直线与圆曲线中间插入缓和曲线的作用：（1）曲率连续变化，便于驾驶操作（2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变（3）为设置超高和加宽提供过渡段（4）与圆曲线配合得当，美化线形2.缓和曲线采用回旋线作为其线形的原因：汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）、驾驶员以等角速度匀速转动方向盘其行驶轨迹线的弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，即行驶轨迹线与回旋线的性质相符，故我国《标准》规定以回旋线作为缓和曲线。