选修2-3：1.2.1.2常见排列题型及方法——邻水中学

常见排列应用题型及方法四川省邻水中学黄文谦例1.某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普通客票？2121211132()A种类型一、无限制条件练习1某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?2141413182()A场例2、用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析1：由于百位上的数字不能为0，只能从1到9这9个数字中任选一个，有种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有种选法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是：19A29A1299648AA分析2：所求的三位数可分为：不含数字0的，有个；含有数字0的，有个，根据分类计数原理，所求三位数的个数是：39A292A32992648AA分析3：从0到9这十个数字中取3个的排列数为，其中以0为百位数字的排列数为，故所求三位数的个数是：310A29A32109648AA(特殊位置分析)(特殊元素分析)(排除法)类型二、有限制条件一题多法方法一：对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优限法。注意哟：一道题可以有多种解法练习现有7位同学站成一排．⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种则共有A22A55=240种排列方法.⑵甲、乙、丙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(位置分析)第一步排头和排尾从除去甲、乙、丙外的4位同学中选2位同学站有A42种方法；(元素分析)第一步:甲、乙、丙站在除排头和排尾的5个位置中的3个位置有A53种站法;第二步:其余同学站其余4个位置有A44种站法;共有A53A44＝1440种排列方法．优限法第二步其余位置余下的5位同学站有A55种方法，所以一共有A42A55＝1440种排列方法．⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？排除法：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有A77－4A66＋2A55=2400种．(位置分析)第一步排头和排尾从除去甲、乙外的5位同学中选2位同学站有A52种方法；(元素分析)第一步:甲、乙站在除排头和排尾的5个位置中的2个位置上有A52种站法;第二步:其余同学站其余5个位置有A44种站法;共有A52A55＝2400种排列方法．第二步其余位置余下的5位同学站有A55种方法，所以一共有A52A55＝2400种排列方法．解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1440种．⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？方法二：对于相邻问题,常用捆绑法，记得先捆后松，必须最后才松绑练习：甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？有A55A33＝720种．解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们中间和两边六个位置（就称为“空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有A62种方法.则共有A55A62=3600种方法．解法一：(排除法)A77-A66A22=3600⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？方法三：对于不相邻问题，常用“插空法”练习：甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44A53＝1440种．命中的三枪看作一个元素，和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中，有A25=5·4=20种排法。练习.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好3枪连在一起的不同种数有多少？本题不用松绑了，为什么？解：连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开，如图表示没有命中，__________本题这样考虑：共有7个座位，47A第二步将女生安排进剩下的空座位，只有1种方法；故，总的排列方法数为：47840()A种第一步安排男生，从7个座位中选4个座位给男生有种方法；这种思想叫座位思想例有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？方法四：定序元素后考虑例有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？方法五：定序问题也可用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.分析：先在7个位置上作全排列，有种排法。其实就是先安排男生，再安排女生，即。若女生不排序了，则排法为47A77A33A334777AAA8403377333347AAAAA解题时书写为8403377AA本题这样考虑：共有6个座位，36A第二步将A、B、C安排进剩下的空座位，只有4种方法；ABC,BAC,CAB,CBA故，总的排列方法数为：第一步安排D、E、F，从6个座位中选3个座位给D、E、F男生有种方法；练习有A、B、C、D、E、F六名学生排成一行，要求A、B在C的同侧，有多少种排法？480436A444588553488AAAAAA(1)1个女生用排除法则直接如果本题要分类，则要分成:前4个位置恰有例有5名男生，3名女生8名学生排成一行，要求前4个位置至少有一个女生，有多少种排法？方法六：“至多”“至少”问题分类法或排除法(2)2个女生(3)3个女生元素分析，先安排3个女生位置分析，先安排前4个位置步1：选一个女生安排在前面四个位置中的一个，有A31×A41种方法步2：其余的人排余下的位置，有A77种方法共有A31A41A77种方法，这样做对吗？不对，不可笼统计算例、10把椅子排成一行,现有3人就坐,要求每个人的两侧都有空椅子,则不同的入座方法有()种，要求任何两人不相邻，则不同的入座方法有()种。方法七：座位插空法练习、一座桥上有编号为1～10的10盏路灯,为节约用电,又不影响照明,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,问不同的关灯方法有多少种?（组合问题）书架上原有5本不同的书排放在一排，再放上3本不同的书，且不改变原书的相对顺序，求共有多少种不同的放法?法二、方法八：逐个插空法，其实是分步计数原理法一、先8本书全排，其中5本其实不用排，用除法5588AA6×7×8有5名男生，4名女生排队。(1)全部排成一排，有有多少种排法？(2)排成两排，前排4人，后排5人，有多少种排法？(3)排成三排，每排3人，有多少种排法？(4)排成两排，前排4人，后排5人，甲站前排，有多少种排法？(5)排成三排，每排3人，甲站第一排，有多少种排法？99A459959AAA单排与多排问题99A编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.方法八：错位数要记住常用的：当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例.某6小组的组长将数学作业本发放下去，某一人拿到了自己的作业本，其他组员拿到的都不是自己的作业本的发放方法有种。]!)1(!51!41!31!21[nnn！现有4名男生和2名女生(1)站成一圈，有多少种站法？(2)站成一圈且女生要站在一起，有多少种站法？（1）（2）方法九：环状排列——剪断直排法120666A4852255AABACEDFABCDEFBCDEFACDEFABDEFABCEFABCDFABCDE[解析]按末位是1、3、5分三类计数：第一类，末位是1的共有4×A24＝48个；第二类，末位是3的共有3×A24＝36个；第三类，末位是5的共有3×A24＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．3×4×4×3—还有没有其他的方法呢？例：用0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字的比2000大的四位数的奇数_____个．个千百十千个百十四位数奇数减去小于2000的四位奇数优限法排除法1×2×4×3＝120(个)．数字类题型：含0的数字类问题，一般就要用优限法2、用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被5整除的三位数？211988AAA3、用1到9这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被3整除的三位数？3333333180AA例1、4、72、5、83、6、91、用0、1、2、3、4这5个数字可组成没有重复数字的三位偶数________个．除以3余0的：除以3余1的：除以3余2的：用数字0，1，2，3，4，5这6个数字能够组成数字不重复的数中(1)能被5整除的四位数有个，(2)能被3整除的三位数有_____个，(3)能被3整除的四位数有_____个，练习9640108用数字0，1，2，3，4这5个数字能够组成数字不重复的数中能被4整除的五位数有个能被4整除的数，末两位数必能被4整除例：由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?[解析]组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分为两步来完成，先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．例：从数字0，1，2，3，4这5个数字里，每次取3个组成没有重复数字三位数，求所有三位数的和。(1)4作百位的数的个数有个24A(2)3作百位的数的个数有个24A(3)2作百位的数的个数有个24A(4)1作百位的数的个数有个24A所有三位数的百位数之和为12000100)1234(24A所有三位数的十位数之和为9003310)1234(）（所有三位数的个位数之和为9033)1234(）（所有三位数和为12000+900+90=129901234[分析]由于要求相邻(有公共边)的区域不同色，所以可按“1号区域与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不同色”两种情况分类，然后根据两个原理分别求解.涂色问题:用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？[法一]第一类：1、4同色，可分三步来完成，第一步，先涂1、4，有5种涂法；第二步，再涂2，只要不与1、4同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂3，只要不与1、4同色即可，因此也有4种涂法；由分步乘法计数原理知，有5×4×4＝80种涂法；第二类：1、4不同色，可分四步来完成，第一步，先涂1，有5种涂法，第二步，再涂4，只要不与1同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂2，只要不与1、4同色即可，因此有3种涂法；第四步，涂3，只要不与1、4同色即可，因此也有3种涂法．由分步乘法计数原理知，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80＋180＝260.[法二]1、42、31、4232、3142314先分堆用2色用3色用3色用4色再涂色25A35A35A45A25A35A35A45A+++=260“先分堆，再涂色”在涂色问题中更简单以后涂色问题都这么解如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为()A．96B．84C．60D．48某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部