非齐次方程的冲量定理法求解

),(2txfuauxxtt0),(0tttxu0),(0ttxu0),(0xtxu0),(lxtxu考虑定解问题：泛定方程边界条件初始条件弦两端固定)()(),(tTxXtxu用式代入方程，不能分离变量§8.2非齐次振动方程和输运方程（齐次边界条件）02xxttuau0),(0xtxu0),(lxtxu泛定方程边界条件分离变量得本征方程0XX0)0(X0)(lX)()(),(tTxXtxuxlnCXnnsin对应齐次方程为1、齐次解一、Fourier级数法1sin)(),(nnxlntTtxu仿照常数变易法，令xlnCXnnsin2、Tn(t)的解泛定方程1sin)(),(nnxlntTtxu将),(2txfuauxxtt代入泛定方程),(sin)]()()([12txfxlntTlantTnnn其中)()()()(2tftTlantTnnndlntfltflnsin),(2)(0),(sin)]()()([12txfxlntTlantTnnn1sin)(),(nnxlntTtxu将代入初始条件dlntfltflnsin),(2)(00),(txut0),(0ttxu0sin)0(1nnxlnT0sin)0('1nnxlnT0)0(nT0)0('nT)()()()(2tftTlantTnnndlntfltflnsin),(2)(00)0(nT0)0('nTdtlanfanltTtnn)(sin)()(010sin])(sin)([),(ntnxlndtlanfanltxutAuauxxtsin20),(0ttxu0),(0xxtxu0),(lxxtxu例：求定解问题：泛定方程边界条件初始条件解：xlnCXnncos0cos)(),(nnxlntTtxu代入泛定方程有tAxlntTlantTnnnsincos)]()()('[020),(0ttxu将0cos)(),(nnxlntTtxu代入初始条件tAxlntTlantTnnnsincos)]()()('[020cos)0(1nnxlnT有0)0(nT0ntAtTsin)('00n0)0(0T0)()()('2tTlantTnn)cos1()(0tAtT0)0(0T0)()()('2tTlantTnn0ntAtTsin)('00)0(nT0n0)(tTn)cos1(),(tAtxu),(2txfuauxxtt)(),(0xtxutt)(),(0xtxut0),(0xtxu0),(lxtxu考虑定解问题：)()()()(2tftTlantTnnn1sin)(),(nnxlntTtxudlnlTlnsin)(2)0(0dlnlTlnsin)(2)0('0另一方法：考虑线性叠加法02IxxIttuau)(),(0xtxutIt)(),(0xtxutI0),(0xItxu0),(lxItxu令IIIuuu),(2txfuauIIxxIItt0),(0tIIttxu0),(0tIItxu0),(0xIItxu0),(lxIItxu有),(2txfuauxxtt0),(0tttxu0),(0ttxu0),(0xtxu0),(lxtxu考虑强迫弦振动定解问题：),(1),(txFtxff(x,t)表示单位长度、单位质量作用力tt+f(x,t)f(x,)表示内的冲量这个冲量使得系统的速度有一定的增量，即f(x,),(二）、冲量定理法)sinsin(1122ttdxuFdxTTtt+f(x,t)现在，我们把在时间内得到的速度增量看成是t=瞬时集中得到的，而在的其余时间里没有冲量的作用，即认为在这段时间内没有力的作用，故方程是齐次的。t=时的集中速度可置于“初始”条件中，得到的关于瞬时力引起的振动的定解方程为：0)(2)(xxttuau),()(xfutt0)(tu00)(xu0)(lxu)0(dtlx显然),,,()()(txuu02xxttvav),(xfvtt0tv00xv0lxv)0(tlx令),,(),,,()(txvtxu而ttxutxu0)(0);,(lim),(ttxv00);,(limtdtxv0);,()0(lx)(ttlxAuauxxttsincos20),(0ttxu0),(0xxtxu0),(lxxtxu例：用冲量法求定解问题：泛定方程边界条件初始条件解：0),(0tttxu)00(tlx用冲量法，上述定解问题变为v的定解问题02xxttvavsincoslxAvtt0tv00xxv0lxxv)0(dtlx代入初始)(000tBAvxlnltanBltanAvnnncos])(sin)(cos[100cos])(sin)(cos[)(nnnxlnltanBltanAtBAvsincoslxAvtt0tv有00A0nA10cosnnttxlnlanBBvsincoslxA初始sincoslxAvtt有00A0nA10cosnnttxlnlanBBvsincoslxA00Bsin1alAB),3,2(0nBn于是xlnltaalAvcos)(sinsin于是xlnltaalAvcos)(sinsintdtxvu0);,(tdxlnltaalA0cos)(sinsinxlnlatlalatalAcossinsin2222