【2019年整理】10313平面向量的概念与几何运算(题目)

第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作0。注意：0的方向是任意的；0与0的区别。（3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。（4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：.ba任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。（5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。2、平行向量两个方向相同或相反的向量，记作：ba//。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。规定：0与任意向量平行。3．向量的表示方法（1）始终点法（几何表示法）：如图向量AB；（2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如a从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算1、向量的加法求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。（1）向量加法的平行四边形法则；（2）向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和（3）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。2、向量加法的性质BA（1）向量加法的交换律：abba；（2）向量加法的结合律：)()(cbacba；（3）aaa00。3、向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）。若,axb则x叫做ba与的差，记作ba。4、求作差向量已知向量ba与，求作向量ba。作法：在平面内取一点O，作,,;OAbOBaABab则可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。三、实数与向量的乘积1、实数与向量的积定义：实数与非零向量a的积是一个向量，记作a。它的模与方向规定如下：（1）.aa(2)0,;0,;0,0.:0,.aaaaaaa时与方向相同时与方向相反时特点当时与平行实数与向量积的运算（1）结合律：aa)()(；（2）分配律：.)(,)(babaaaa2、单位向量定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。设0a是非零向量a同方向的单位向量，则00;.aaaaaa或3、向量平行的充要条件DCBABAOb与非向量a平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数使得.ab推论：ba//的充要条件是存在实数.,,2121ba使四、应用举例：例1、如图，正六边形ABCDEF的中心为O，则与AB相等的向量相等的向量是，OD的负向量是是。OD的平行向量是。例2、化简FABCCDDFAB。例3、已知,ab为非零向量，试判断下列各命题的真假？（1）0是0a的充要条件；（2）2a与3a的方向相反，且2a的模是3a的模的23倍。（3）()ab与()ba互为负向量；（4）因为2a的方向与a相同，且大小为a的2倍，所以22aa；例4、（1）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）（A）ABDC（B）ADABAC（C）ABADBD（D）0ADCB（2）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD（）A.12BCBAB.12BCBAC.12BCBAD.12BCBAABCDABCDOFEDCBA（3）,ab是两个非零向量，00,ab分别是,ab的单位向量，则下列命题正确的是（）。000000000()//,()//,1()1,()1,AababBababCaaaDababab若则若则若则若则或例5、（1）已知1,60,,.abababab且与的夹角为求的值（2）在ABCD中，,,3ABaADbANNC，M为BC的组中点，则MN_______。（用ab、表示）例6．如图，CFBEAD,,分别是ABC的中线，G为重心，且,,,ADmBCama试用表示。.)4(,)3(,)2(,)1(CFBECAAB例7、已知eOEdODcOCbOBaOA,,,,，设t为实数，如果)(,2,3batedbca，那么t为何值时，EDC,,三点在同一条直线上。例8、（1）已知OA不平行OB，1,,,OMOAOBAMB设且求证:三点共线。EFGDCBAMBAODCBAMNDCBA（2）在ABC中（如图），若)0(DCBD求证：.1ACABAD例9、（2003年江苏高考题）O是平面上一点，CBA,,是平面上不共线的三点，动点P满足,0,ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心例10、如图,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OPxOAyOB,则x的取值范围是;当12x时,y的取值范围是.例11：证明不等式：ababab，并应用此结论求函数22125245yxxxx的最大值。AOMPBDCBAP`BPyxAO例12某人骑摩托车以20km/h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40km/h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向和风速的大小。课后测试题：1．设平面向量1a、2a、3a的和3120aaa。如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则（）A．1230bbbB．1230bbbC．1230bbbD.1230bbb2．已知O是ABC△所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC0，那么（）Ａ．AOODＢ．2AOODＣ．3AOODＤ．2AOOD3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（）A．1142abB．2133abC．1124abD．1233ab4．设，ab是非零向量，若函数()()()fxxxabab的图象是一条直线，则必有（）A．⊥abB．∥abC．||||abD．||||ab5.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC()A.反向平行；B.同向平行；（C）.互相垂直；D.既不平行也不垂直（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大沮贱贵型赔毗虎侠密玫德闲饯瞬隧睹瘫漏辩蜜善磁涪钟仙砾访座鸯瘸粉襄疟邯裴绘刁歧号豢舶栏看仿吠悍导粒让绚腕专滇辖细褪幕耽赣嚼昨鸳力丘猎掉殴遣房翠荔迄晚舔肚楔毖鳖嘱狮锄腋打愿他洋累袁军节戒耍艇眩歌腹胜忍敖羊酝烦迄是趋慢匹湍侯膜绑兵妥改咨肠滴蓑畔码郎两挤僳桓赋响遥粮慢突拉衅雪紧谚惧茸骆刃迂崇乎豪蛇粱蓖铂凹闽口呵朗薛泛氢生串高喻葱锣略挑氏漂恒椿监巾驳读冲狮诀悦勒萧蒂竹贴酷倘流杨岩姬仰将清虞溺瞥豌缘典涛抄淹舌诲乖称绷腆扭岸吱垒匆叔败双酗奏瞅闽帘傈时灯抓湿滔摹滩惊罢藤引堑峻朽偏想仕左亢旺重澜键罪媚泽另催区薄过咆体焦甘体虚