正方形经典题型(培优提高)

1正方形的性质及判定知识归纳1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．4．重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。难点：正方形知识的灵活应用例题讲解一、正方形的性质例1：如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且20AEAFAF，，则BE的长为FEDCBA变式1：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若1AG，2BF，90GEF，则GF的长为．正方形菱形矩形平行四边形2变式2：将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点12...nAAA，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A5A4A3A2A1例2：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AECE．EDCBA变式1：如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PEBC于E，PFCD于F.求证：APEF.FEPDCBA例3：如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且ABP为等边三角形，那么DCPPDCBA变式1：如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若50EAF，则CMECNF．NMFEDCBA3变式2：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正方形ABE，CE与BD相交于点F，则AFDFEDCBA例4：如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接,BEDG，求证：BEDG.GCFEDBA变式1：如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上的一点，CECF，30FDC，求BEF的度数.BDCAEF变式2：已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：BCGDCE≌；（2）将DCE△绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由．例5：若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，3BE，M为线段AE上一点，射ABCDEFEG4线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为．变式1：如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HAEBFCGD，连接EG、FH，交点为O．⑴如图2，连接EFFGGHHE，，，，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，1cmHAEBFCGD，则图3中阴影部分的面积为_________2cm．图3图1图2HDGCFEBAOHGFEDCBA变式2：如图，正方形ABCD对角线相交于点O，点P、Q分别是BC、CD上的点，AQDP，求证：（1）OPOQ；（2）OPOQ.BODCAQP例6：如图，正方形ABCD中，EF，是ABBC，边上两点，且EFAEFCDGEF，于G，求证：DGDAGFECDBA变式1：如图，点MN，分别在正方形ABCD的边BCCD，上，已知MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求MAN的度数5NMDCBA变式2：如图，设EF∥正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF交于H，求证：AH正方形的边长．HEGCDFBA例7：把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHFEDBA变式1：如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90ADC，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，作EPl于点P，求证22EPADCD.lPMFEDCBA6二、正方形的判定例1：四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH，求证：⑴四边形EFGH对角互补；⑵若四边形ABCD为平行四边形，则四边形EFGH为矩形．⑶四边形ABCD为长方形，则四边形EFGH为正方形．HEFGDCBA变式1：如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形．⑴求证：四边形ABCD是菱形；⑵若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形．OEDCBA变式2：已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E．⑴求证：四边形ADCE为矩形；⑵当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．MENCDBA例2：如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AEaAFb，，7若23EFGHS，则ba=HGFEDCBA例3：如图，若在平行四边形ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQSNMFEDCBA8附加题：1.如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为27cm和211cm，则CDE的面积为GFEDCBA2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：AMAD．MFEDCBA3.如图，正方形ABCD中，O是对角线ACBD，的交点，过点O作OEOF，分别交ABCD，于EF，，若43AECF，，则EFOFEDCBA4.如图所示，ABCD是正方形，E为BF上的一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，则EAB______.ABCDEF