全国通用2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和课件文

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第五章数列第三节等比数列及其前n项和[考纲传真]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的比等于_____________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的____，通常用字母q表示，定义的表达式为________＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒________.2同一个常数公比Gan＋1anG2＝ab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝______.(2)前n项和公式：Sn＝____q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.na1a11－qn1－qa1－anq1－qq≠1a1qn－13．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·______(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝____；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.qn－map·aqa2k1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为－12，则a1＋a3＋a5a2＋a4＋a6的值是()A．－2B．－12C.12D．2A[a1＋a3＋a5a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5－12a1＋a3＋a5＝－2.]3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝()A．64B．128C．256D．512A[设等比数列的首项为a1，公比为q，则由a1＋a2＝a1＋a1q＝6，a3＝a1q2＝8，解得a1＝2，q＝2或a1＝18，q＝－23(舍去)，所以a6＝a1q5＝64，故选A.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.6[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴21－2n1－2＝126，解得n＝6.]等比数列的基本运算(1)(2016·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝()A．32B．64C．128D．256(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．【导学号：31222183】(1)C(2)2n－1[(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝a11－q21－q＝3，∴4q2(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，∴q＝－23或q＝2.∵an0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q，则有a1＋a1q3＝9，a21·q3＝8，解得a1＝1，q＝2或a1＝8，q＝12.又{an}为递增数列，∴a1＝1，q＝2，∴Sn＝1－2n1－2＝2n－1.][规律方法]1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1](1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则S6S3＝__________.(1)C(2)28[(1)根据已知条件得a1q2＝7，①a1＋a1q＋a1q2＝21，②②÷①得1＋q＋q2q2＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝a11－qn1－q，得S6＝a11－361－3，S3＝a11－331－3，所以S6S3＝a11－361－3·1－3a11－33＝28.]等比数列的判定与证明(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.[解](1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，2分故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0.3分由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.5分由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.7分(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.9分由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.10分解得λ＝－1.12分[规律方法]等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．[变式训练2]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[解](1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn.3分由a1＋S1＝1得a1＝12，∴c1＝a1－1＝－12，从而cn≠0，∴cn＋1cn＝12.∴数列{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列.6分(2)由(1)知cn＝－12×12n－1＝－12n，7分又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－12n，9分∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n.又b1＝a1＝12，适合上式，故bn＝12n.12分等比数列的性质及应用(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为()A．4B．5C．6D．7(2)(2016·天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件(1)B(2)C[(1)由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a2m＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故选B.(2)若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n0，则a1＋a20，又a10，所以a20，所以q＝a2a10.若q0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n0.所以“q0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n0”的必要而不充分条件．故选C.][规律方法]1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3](1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{an}中，a1008·a1009＝1100，则lga1＋lga2＋…＋lga2016＝()A．2015B．2016C．－2015D．－2016(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为()A.32B.94C．1D．2(1)D(2)D[(1)lga1＋lga2＋…＋lga2016＝lga1a2…a2016＝lg(a1008·a1009)1008＝lg11001008＝lg10－21008＝－2016，故选D.(2)由题意得S4＝a11－q41－q＝9，所以1－q41－q＝9a1.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(a21q3)2＝814得a21q3＝92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a11－1q41－1q＝q4－1a1q3q－1＝1a1q3·9a1＝9a21q3＝2，故选D.][思想与方法]1．方程的思想．等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．2．函数的思想．通项公式an＝a1qn－1可化为an＝a1qqn，因此an是关于n的函数，即{an}中的各项所表示的点(n，an)在曲线y＝a1qqx上，是一群孤立的点．3．分类讨论思想．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点．[易错与防范]1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)．