2016中考数学动点问题及答案

12016中考数学动点问题及答案专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PHx,GPy,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132OP=2.(2)在Rt△POH中,22236xPHOPOH,∴2362121xOHMH.在Rt△MPH中,.∴y=GP=32MP=233631x(0x6).(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH时,xx233631,解得6x.经检验,6x是原方程的根,且符合题意.②GP=GH时,2336312x,解得0x.经检验,0x是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH时,2x.综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,xCE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；2222233621419xxxMHPHMPHMNGPOAB图1xy2(2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,∴ACBDCEAB,∴11xy,∴xy1.(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290,且函数关系式成立,∴290=,整理得290.当290时,函数解析式xy1成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)求证:△ADE∽△AEP.(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴53xOD,54xAD,∴OD=x53,AD=x54.∴AE=xx53=x58.∵△ADE∽△AEP,∴AEADAPAE,∴xxyx585458.∴xy516(8250x).AEDCB图2●PDEACB3(2)OFO●FPDEACB3(1)3(3)当BF=1时，①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP,∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.∴5-x58=4,得85x.可求得2y,即AP=2.②若EP交线段CB于点F,如图3(2),则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x58=2,得815x.可求得6y,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22,∴BC=4,AH=21BC=2.∴OC=4-x.∵AHOCSAOC21,∴4xy(40x).(2)①当⊙O与⊙A外切时,在Rt△AOH中,OA=1x,OH=x2,∴222)2(2)1(xx.解得67x.此时,△AOC的面积y=617674.②当⊙O与⊙A内切时,在Rt△AOH中,OA=1x,OH=2x,∴222)2(2)1(xx.解得27x.此时,△AOC的面积y=21274.ABCO图8H4FABCED综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为617或21.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图，ABC中，10ACAB，12BC，点D在边BC上，且4BD，以点D为顶点作BEDF，分别交边AB于点E，交射线CA于点F．（1）当6AE时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．[题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．[区分度性小题处理手法]1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R±r(rR)建立方程．3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.[略解]解：（1）证明CDF∽EBD∴BECDBDCF，代入数据得8CF，∴AF=2（2）设BE=x,则,10ACd,10xAE利用（1）的方法xCF32，5ABCDEOlA′ABCDEOlF相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，xx321010，24x；内切，xx321010，17210x．100x∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为24或17210．（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，320BE．类题⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题．（二）线动问题在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝41AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x43长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．[题型背景和区分度测量点]本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．[区分度性小题处理手法]1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.[略解](1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝21AC∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝633BC(2)①92xAC，9412xAO，)9(1212xAF，xxAE4926∴AF21AESAEFxx96)9(22，xxxS96)9(322xxxS968127024(333x)②若圆A与直线l相切，则941432xx，01x(舍去)，582x∵3582x∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切．[类题]09虹口25题．（三）面动问题如图，在ABC中，6,5BCACAB，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE∥，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.（1）试求ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设xAD，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长．[题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形DEFG整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．[区分度性小题处理手法]1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．图3-5图3-4图3-3图3-2图3-1KFGEKFGEFGEUKFGEFGECAACACACACBDBDBDBDBDFGECABD72．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．3．解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.[略解]解：（1）12ABCS.（2）令此时正方形的边长为a，则446aa，解得512a.（3）当20x时，22253656xxy，当52x时，2252452455456xxxxy.（4）720,1125,73125AD.[类题]改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．（1）求证：△BDM∽△CEN；（2）设BD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（3）当点M、N分别在边