解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。一、用函数(变量)的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题，这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线26yx上的两个动点11(,)Axy和22(,)Bxy,其中12xx且124xx.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB中点的纵坐标作为主变量，这样只要把ABC的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。【解析】设线段AB的中点M坐标为（0(2,)y，则则直线AB的斜率：12122212121206366yyyykyyxxyyy线段AB的中垂线方程：00(2)3yyyx，易知线段AB的中垂线与x轴的交点为定点(5,0)C直线AB的方程：003(2)yyxy，联立抛物线方程消去x可得：220022120yyyy（1），由题意，12,yy是方程（1）的两个实根，且12yy，所以2200044(212)02323yyy弦长2222200121212002||1()||(1)[()4](9)(12)393yyAByyyyyyyy点C(5，0)到直线AB的距离：20||9hCMy则2222220000001111||(9)(12)9(9)(9)(242)2332ABCSABhyyyyyy2223000992421114()73233yyy当且仅当22009242yy，即05y，点635635(,57),(,57)33AB或635635(,57),(,57)33AB时等号成立，所以ABC面积的最大值为1473。【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S表示为中点坐标0y的函数，同时注意0y的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设209,[9,21)ytt，转化为一个t的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线:lykxm（其中k，m为整数）与椭圆2211612xy交于不同两点A，B，与双曲线221412xy交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的,km,所以其余各量均可用,km，所以我们这里可用一个二元函数(,)fkm来表示ACBD，本题就转化为解二元方程(,)0fkm.【解析】由2211612ykxmxy消去y化简整理得:2223484480kxkmxm设11Axy，，22Bxy，，则122834kmxxk,222184344480kmkm①由221412ykxmxy消去y化简整理得:22232120kxkmxm设34Cxy，，44Dxy，，则34223kmxxk,2222243120kmkm②因为0ACBD，所以42310xxxx，此时42310yyyy．由1234xxxx得2282343kmkmkk．所以20km或2241343kk．由上式解得0k或0m．当0k时，由①和②得2323m．因m是整数，所以m的值为3，2，1，0，1，2，3．当0m，由①和②得33k．因k是整数，所以1k，0，1．于是满足条件的直线共有9条．【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理.二、用平面几何的知识来解决问题解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。在解决某些解析几何问题的时候，如果其平面几何背景非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。【例3】(2012全国高中数学联赛试题)抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足3AFB．设线段ＡＢ的中点M在l上的投影为N，则||||MNAB的最大值是________【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义，|MN=|AF|+|BF|，结合3AFB，可用余弦定理得出等量关系。【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AFBFMN在AFB中,由余弦定理得2222cos3ABAFBFAFBF2()3AFBFAFBF22()3()2AFBFAFBF22().2AFBFMN当且仅当AFBF时等号成立.故MNAB的最大值为1.【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。【例4】（2005全国高中数学联赛试题）过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，1ECAE，F在线段BC上，2FCBF，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。【分析】通过初略计算可知D为AB的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考虑用三角形的面积之比来解决问题。【解析】AB的方程为),0,21(),1,0(,12DBxy故D是AB的中点.令,1,1,2211CFCBtCECAtCPCD则.321tt因为CD为ABC的中线，.22CBDCADCABSSS所以,23,232)11(212212121212121ttttttttSSSSSSCBCACFCEttCBDCFPCADCEPCABCEFP是ABC的重心.设),,(),,(200xxCyxP因点C异于A，则,10x故重心P的坐标为,3311),32(,31310202000xxyxxxx消去,0x得.)13(312xy故所求轨迹方程为).32()13(312xxy【评析】从函数的观点进行分析，易发现点C的横坐标0x为主变量，P点的横坐标和纵坐标均表示成0x的函数，在消去参数0x就得到点P的轨迹方程，思路虽然简单，但由于本题所含字母较多，进行代数运算时运算量大且容易出错。如果我们能够分析其平面几何背景，运用平面几何的知识，就能比较快速准确的解决问题当解析几何题目。三、用极坐标知识来解决解析几何问题解析几何中的坐标法是指建立直角坐标系，用这个点在两坐标轴上的射影,xy来确定。而极坐标是用角度和距离（很多时候就是长度）这两个量来确定一个点的位置，其几何意义很明显，如果在题目中涉及到的量能用角度和距离非常方便的表示出来，那么建立一个极坐标系进行运算，会比我们在直角坐标系下运算快速有效的多。【例5】（2008江苏省数竞赛试题）A、B是椭圆22194xy上的两个动点，满足0OAOB。（1）求证：2211||||OAOB为定值；（2）动点P在线段AB上，满足0OPAB，求证：点P在定圆上。【分析】由0OAOB可知OAOB,所以90AOB,而||,||OAOB能用距离（长度）直接给表示出来，这里的问题都可以用角度和距离来表示，可以考虑建立极坐标系来解决。【解析】（1）如图以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系设||,||,OAaOBbAOx，则点(cos,sin)Aaa，则点(cos(),sin())(sin,cos)22Bbbbb，点A、B在椭圆上，把点坐标带入椭圆方程可得：222222cossin1cossin()19494aa同理可得：2221sincos94b，两式相加可得：221111139436ab为定值。（2）由0OPAB知OPAB，所以ABPO22||||||||||||||||OAOBabOPABOAOBOPABab221361311ab为定值，所以P在以O为圆心，半径3613的定圆上。【评析】本题也可利用OAOB，设他们的斜率分别为1,kk，以k为主变量进行运算，但||,||OAOB用k来表示比较麻烦。如能观察到用角度和距离两个量非常简洁的表示||,||OAOB，选用极坐标系，则解题可事半功倍。【例6】(2012全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且6OBOD．（１）求证：||||OAOC为定值；（2）当点A在半圆22(2)4xy（24x）上运动时，求点C的轨迹．【分析】根据图中的菱形和等腰三角形的性质可知O、A、C三点共线，结合菱形的对角线垂直可知边长关系，第（1）小题用平面几何方法可快速求解，由点O、A、C三点共线知三点的角度是一样的，只有长度不一样，加上（1）的结论可知，|AO|与|OC|的长度之积为定值20，第（1）小题可以用极坐标(,)求解。【解析】（1）因为,OBODABADBCCD所以,,OAC三点共线，如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有()()OAOCOKAKOKAK22OKAK2222()()OBBKABBK22226420OBAB(定值)（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12(,),(,)()44AC，则由（1）的结论可得：1220（*）而点A所在的半圆的极坐标方程为：4cos()44所以14cos，带入（*）可得：25cos()44在转化为直角坐标：22cos5,sin5tan[5,5]xy故点C的轨迹为线段5(55)xy。高中数学竞赛中的解析几何题的解题策略多种多样，还有很多方法和技巧，比如说用直线的参数方程来求解某些有关定点到动点距离的问题会比较方便，用曲线的参数方程在化两元为一元的问题上有很多的优势等，我们只有掌握一些常用的技巧和方法，在做题的时候根据题设和结论的背景和特征，选择合适的方法，才能快速准确的解决解析几何问题。【同步练习】1、已知椭圆方程：22221(0