暑期培优：第三章 三角函数、解三角形(必记知识点+必明易错点+必会方法)教师版

1专题三、三角函数与解三角形任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝12lr和12|α|r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝πrad进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.2[试一试]1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第______象限角．答案：一或三2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sinα＝________.答案：－121．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．[练一练]若sinα0且tanα0，则α是第______象限角．解析：由sinα0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：三对应学生用书P39考点一角的集合表示及象限角的判定1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案：32．终边在直线y＝3x上的角的集合为________．解析：终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．答案：{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，3得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°4.设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么集合M，N的关系是______．解析：法一：由于M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.法二：由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.答案：MN[备课札记][类题通法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．考点二三角函数的定义[典例](1)已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为______．(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cosα＝24x，则sinα＋π2＝________.[解析](1)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin2π3＝32，故α＝2kπ－π6(k∈Z)，所以α的最小正值为11π6.4(2)由题意得cosα＝x5＋x2＝24x，解得x＝0或x＝3或x＝－3.又α是第二象限角，∴x＝－3.即cosα＝－64，sinα＋π2＝cosα＝－64.[答案](1)11π6(2)－64[备课札记][类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα的值．解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋－3k2＝10|k|.当k0时，r＝10k，∴sinα＝－3k10k＝－310，1cosα＝10kk＝10，∴10sinα＋3cosα＝－310＋310＝0；当k0时，r＝－10k，∴sinα＝－3k－10k＝310，1cosα＝－10kk＝－10，∴10sinα＋3cosα＝310－310＝0.综上，10sinα＋3cosα＝0.5考点三扇形的弧长及面积公式[典例](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[解](1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝1012θ·r2＝4⇒r＝1，θ＝8(舍)，r＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．[备课札记]若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为2r，∴圆心角的弧度数是2rr＝2.答案：2[类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．[针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，求弧长l.解：设扇形的半径为rcm，6如图．由sin60°＝6r，得r＝43cm，∴l＝|α|·r＝2π3×43＝833π(cm)．对应学生用书P41[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．解析：由三角函数的定义知P(cosθ，sinθ)．答案：(cosθ，sinθ)2．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得l＋2r＝6，12lr＝2，解得l＝4r＝1或l＝2，r＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案：1或43．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.答案：(－2,3]4．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2010°＝676π＝12π－5π6，7∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6.答案：5π65．(2014·南京期末)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．解析：由三角函数的定义知tanα＝－6x，于是－6x＝－35，解得x＝10.答案：106．(2014·扬州质检)已知sinα＝13，且α∈π2，π，则tanα＝______.解析：因为sinα＝13，且α∈π2，π，所以cosα＝－1－19＝－223从而tanα＝－24.答案：－24[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．已知cosθ·tanθ0，那么角θ是第________象限角．解析：易知sinθ0，且cosθ≠0，∴θ是第三或第四象限角．答案：三或四3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sinα＝______.解析：因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2kπ＋5π6(k∈Z)，即得sinα＝12.答案：1284．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．解析：由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.答案：－12，325．给出下列各函数值：①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)；④sin7π10cosπtan17π9，其中符号为负的是________(填写序号)．解析：sin(－1000°)＝sin80°0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°0；tan(－10)＝tan(3π－10)0；sin7π10cosπtan17π9＝－sin7π10tan17π9，sin7π100，tan17π90，∴原式0.答案：③6．在直角坐标系中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝3，即B(－1，3)．答案：(－1，3)7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα＝________.解析：因为A点纵坐标yA＝45，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cosα＝－35.答案：－358．设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2kπ＋πα2kπ＋3π2(k∈Z)，kπ＋π2α2kπ＋3π4(k∈Z)，知α2是第二或第四象限角，再由sinα2＝－sinα2知sinα20，所以α2只能是第四象限角．9答案：四9．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.∴圆心角α＝lr＝2.