02彩票中的数学问题

-1-彩票中的数学问题戴峰胡光华郑珍木摘要本文主要解决的是一个彩票销售方案关于销售规则、奖项、奖金额设置的合理性评价问题。这事实上是一个多指标评价问题，因为彩票销售方案的合理性涉及多方面的因素，如总中奖率（即总中奖面）、各种奖项的中奖率、一等奖奖金额占总奖金额的比例、所有低等奖奖金总额占总奖金额的比例、销售公司以前的业绩情况、前一期彩票销售中的中奖情况、销售公司的信誉、彩民的收入等等。在这个问题中由于我们只需要讨论一个销售周期的彩票销售情况，所以选择了能基本反映彩票销售方案合理性的十项指标，它们是：一等奖中奖率，二等奖中奖率，三等奖中奖率，四等奖中奖率，五等奖中奖率，六等奖中奖率，七等奖中奖率，一等奖奖金额占总奖金额的比例，所有低等奖奖金额占总奖金额的比例，总中奖率（即中奖面）。在评价方法的选择中，由于主成分分析法是通过研究指标体系的内在结构关系，将多个指标化为互不相关的，包含原来指标大部分信息（80%或85%以上）的少数几个综合指标（主成分）来进行评价，它具有客观性、消除指标之间的相关性、指标值收集和计算简单易行等特点，所以我们在此选用了主成分分析法来对彩票销售方案进行综合评价。通过评价得到的主要结论是：（1）总中奖率高、一等奖奖金占总奖金比例高、低等奖奖金占总奖金比例高、奖项种类较多、低等奖奖项金额大的方案排名较前。（2）对于总中奖率特别高的方案，尽管它的奖项设置少，也排名较前。这同时说明了为什么近年来在彩票销售方案中，5/20的销售方案正在彩票行业中走俏。（3）总中奖率低、低等奖奖项少的方案，是对彩民的吸引力最小，从而彩票销售公司盈利也最小的方案，一般排名较后。（4）奖项设置特别少的方案，其总中奖率最低，而且低等奖奖项少，导致低等奖奖金总额占总奖金额的比例减少，这类方案是对彩民最没有吸引力的方案，同时也是彩票销售公司盈利性最差的方案，它的排名无疑是在最后。（5）总中奖率一般，一等奖奖金占总奖金比例也一般，奖项种类一般为6种的方案，对彩民的吸引力一般，所以这些方案一般排名在中间。总之，总中奖率高、低等奖奖金占总奖金额的比例高是提高彩民参与购买彩票的信心，而一等奖奖金占总奖金额的比例高，是吸引彩民购买彩票的“吸铁石”。通过对问题中所给29个方案的分析，我们认为主要的不合理是奖项和奖金额设置的不合理，由此，我们在同时考虑了彩民和彩票销售公司双方利益的基础上，构造了一个非线性规划模型，用于当销售规则固定时，奖项和奖金额的设置。并且我们通过利用主成分分析中排名最前的二种（除特殊方案23外）方案销售规则（7/31，7/30），应用此非线性规划模型，设计出了二种“更好”的方案，而且我们用主成分分析法检验，该二种方法确实排名在所有已给方案之前，以此为契机，给彩票管理部门提出了具有重要参考价值的建议。最后，以客观的态度给报纸写了一篇介绍性的短文，告诉彩民关于彩票销售中的数学奥秘，如各种彩票的中奖率、总中奖面、各种彩票奖项的奖金额占总奖金额的比例，彩票销售公司设置奖项和奖金的依据等问题，以供彩民在购买彩票时作参考。-2-一．问题的提出近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表1所示（X表示未选中的号码）。表110选6+1（6+1/10）中奖等级基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表2所示。表233选7（7/33）36选6+1（6+1/36）中奖等级基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）我们的问题是：（1）对常见的29种彩票销售规则和相应的奖金设置方案就彩票中奖率、奖项和奖金额的设置及对彩民的吸引力等因素，通过建立评价模型，对这些方案进行综合评价，并且给出排序结果，以供彩票管理部门作决策参考。（2）在根据问题（1）的评价结果，分析各方案存在的优缺点，综合考虑彩票销售公司和彩民的利益，设法设计一种“更好”的方案，并给出设计模型或设计算法，以此给现有彩票管理部门提出建议。（3）根据前面得到的信息，以客观的态度给报纸写一篇介绍性的短文，告诉彩民关于彩票销售-3-中的数学奥秘，如各种彩票的中奖率、总中奖面、各种彩票奖项的奖金额占总奖金额的比例等问题，以供彩民在购买彩票时作参考。二．模型的假设1.彩票每期的中奖号码都是随机产生的不受外界的任何因素的影响。2.彩票发行单位每期拿出本期销售额的50%作为奖金发入奖金池中。3.“传统型”彩票选择的号码中的数字是可以重复的且号码是有顺序，不同的投注者选择的号码可以相同（因此一等奖可能有多个中奖者）。4.“乐透型”彩票选择的号码中的数字是不可以重复的且号码是无顺序，不同的购买者选择的号码可以相同（因此一等奖可能有多个中奖者）。5.若单注已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。6.按问题中的高项奖计算公式计算奖金额，当某期的一等奖的金额低于60万时，不足的金额由彩票销售公司补足；当计算出的某期的一等奖的金额高于500万时，公司也只将一等奖金额定为500万。7．彩票销售规则及相应的奖金设置方案在一定的时期内是固定不变的。8．一、二、三等奖规定为高项奖，其余的规定为低项奖；低项奖数额固定，高项奖按比例分配，高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例。三．问题（1）的解答对于问题(1)，我们首先要求出各种方案中各种奖项出现的可能性，这是一个概率计算问题。而对于彩民的吸引力，它受许多因素的影响，其中包括总中奖率（即总中奖面）、各种奖项的中奖率、一等奖占总奖金额的比例、所有低等奖奖金总额占总奖金额的比例、销售公司以前的业绩情况、前一期彩票销售中的中奖情况、销售公司的信誉等等。因此在评价时，我们应该尽量综合各种因素，站在客观的角度，既考虑彩票销售公司的利益，也考虑彩民的利益，建立科学的评价模型对本问题的29个方案给出科学、客观、准确的评价。（一）、计算所有方案中各种奖项的中奖概率利用排列组合知识，根据初等概率计算方法，我们在下面两个表中分别给出了“传统型”和“乐透型”各种奖项的中奖概率计算公式（见表3）和具体计算的中奖概率值（见表4）。彩票各等级奖项中奖概率的通式表3“乐透型”m选n“乐透型”m选n+1“传统型”m选n+1一等奖：nmnnCC二等奖：nmnnCCC111−三等奖：nmnmnnCCC111−−−一等奖：111+nmnnCCC二等奖：111+−−nmnmnnCCC三等奖：111111+−−−nmnmnnCCCC一等奖：126111)(mmnnCCCC二等奖：126112)(mmmnnCCCC三等奖：-4-四等奖：nmnmnnCCCC11112−−−五等奖：nmnmnnCCC212−−−六等奖：nmnmnnCCCC21113−−−七等奖：nmnmnnCCC313−−−四等奖：1211+−−−nmnmnnCCC五等奖：121112+−−−nmnmnnCCCC六等奖：1312+−−−nmnmnnCCC七等奖：131113+−−−nmnmnnCCCC1261121112)(mmmmCCCCC−四等奖：+−126112211)()(mmmmCCCC12611211112)(mmmmmCCCCCC−五等奖：+−126112211112)()(mmmmmCCCCCC126112121112)()(mmmmmCCCCCC−*由于六等奖的计算公式比较复杂因此在这没有给出计算公式。各彩票方案各奖项中奖概率表表4序号方案一等奖二等奖三等奖（10-4）四等奖五等奖六等奖七等奖12345678910111213141516176+1/106+1/106+1/106+1/107/296+1/297/307/307/307/317/317/327/327/327/337/337/340.00200.00800.18000.00200.00800.18000.00200.00800.18000.00200.00800.18000.00640.04480.94180.00640.14100.84570.00490.03440.75650.00490.03440.75650.00490.03440.75650.00380.02660.61230.00380.02660.61230.00300.02080.49910.00300.02080.49910.00300.02080.49910.00230.01640.40960.00230.01640.40960.00190.01300.33830.0003----------------------0.00030.00340.0420------0.00030.00340.0420------0.00030.00340.0420------0.00030.00280.0047------0.00090.00220.0148------0.00020.00240.00400.02650.00020.00240.00400.02650.00020.00240.00400.02650.00020.00200.00340.02360.00020.00200.0034------0.00010.00170.0029------0.00010.00170.0029------0.00010.00170.0029------0.00010.00150.0025------0.00010.00150.00250.01880.00010.00130.0021-------5-1819202122232425262728297/347/357/357/357/357/356+1/366+1/367/367/376/405/600.00190.01300.33830.00150.01040.28110.00150.01040.28110.00150.01040.28110.00150.01040.28110.00150.2915120.00120.03470.20840.00120.03470.20840.00120.00840.23480.00100.00680.19720.00260.01560.51580.00180.00