高中数学圆锥曲线和导数知识点总结

圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程及其性质.1.椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF椭圆的第二定义：PFed，PF点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离其中F为椭圆焦点，l为椭圆准线)0(12222babyaxbyax||,||),0(),0,(ba)0(12222babxay)0,(ccax2图形特征图形特征椭圆方程椭圆方程几何性质几何性质范围范围顶点顶点焦点焦点准线准线焦半径焦半径对称性对称性长短轴长短轴离心率离心率0201||,||exaMFexaMF轴、原点对称轴、关于yxbBBaAA2||,2||2121短轴长长轴长)10(eaceaybx||,||),0(),0,(ab),0(ccay20201||,||eyaMFeyaMF轴、原点对称轴、关于yxbBBaAA2||,2||2121短轴长长轴长)10(eace2B),(00yxM2Fxx1A2A1Fyy1BOOxxyy1A2A1B2B1F2FMOO①椭圆的标准方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（20）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab22③设椭圆：12222byax上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=2020bxay,对椭圆：12222bxay,则kAB=2020axby．弦长AB21ka⑸若P是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（可用余弦定理与aPFPF221推导）.若是双曲线，则面积为2tanb.二、双曲线方程及其性质.1.双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF双曲线的第二定义：PFed，PF点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离其中F为双曲线的焦点，l为双曲线的准线2.双曲线的简单几何性质：标准方程22221xyab（0,0ab）22221yxab（0,0ab）图象,,abc关系222abc范围||,xayR||,yaxR顶点(,0)a(0,)a对称性关于,xy轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线byxaaybx离心率(1)cea焦点(,0)Fc(0,)Fc准线2axc2ayc等轴双曲线：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2.注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.参数方程：tansecbyax或sectanaybx.（现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab22③焦半径：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201▲yxM'MF1F2▲yxM'MF1F2④设双曲线22221xyab：上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=2020bxay,对双曲线：22221yxab,则kAB=2020axby．弦长AB21ka⑤常设与22221xyab渐近线相同的双曲线方程为2222xyab；常设渐近线方程为0mxny的双曲线方程为2222mxny例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PFd，PF为点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离其中F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：①抛物线通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.②pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.（现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）▲yxF1F21234533如图所示，抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．(1)焦半径设A点在准线上的射影为A1，设A(x1，y1)，准线方程为x＝－p2，由抛物线定义|AF|＝|AA1|＝x1＋p2.抛物线上任意一条弦的弦长为21ka(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中点为00(,)Mxy，直线AB的倾斜角为θ，则①x1x2＝p24，y1y2＝－p2，12xx时，有1222pxxpk②|AB|＝2psin2θ＝x1＋x2＋p=12222()ppxxk，0ABpky，22sinAOBpS③以AB为直径的圆与准线相切；④焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°；⑤1|FA|＋1|FB|＝2p.四、圆锥曲线的统一定义..4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）.5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(a0,b0)y2=2px参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t为参数)范围─axa，─byb|x|a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0))0,2(pF焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1准线x=ca2x=ca22px渐近线y=±abx焦半径exar)(aexr2pxr通径ab22ab222p导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limxxxxfxxfxyfxxxfxyxfxxfxyfxfxyx1.(1).函数在处的导数:(2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()yfxxfx；②求平均变化率：00()()fxxfxyxx；③取极限得导数：00'()limxyfxx（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()CC为常数；②1()'nnxnx；11()'()'nnnxnxx；1()'()'mmnnnmmxxxn③(sin)'cosxx；④(cos)'sinxx⑤()'xxee⑥()'ln(0,1)xxaaaaa且；⑦1(ln)'xx；⑧1(log)'(0,1)lnaxaaxa且法则1：[()()]''()'()fxgxfxgx；(口诀：和差的导数等于导数的和差).法则2：[()()]''()()()'()fxgxfxgxfxgx(口诀：左导右不导+左不导右导)法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]fxfxgxfxgxgxgxgx(口诀：(上导下不导-上不导下导)下平方)（2）复合函数(())yfgx的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()ugx，则()yfu②分别求导再相乘'()'()'ygxfu③回代()ugx题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知22sinfxxx，则'0f2、若sinxfxex，则'fx3.)(xf=ax3+3x2+2，4)1(f，则a=（）319.316.313.310.DCBA三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t时的瞬时速度0V就是物体运动规律Sft在0tt时的导数0ft，即有00Vft。2.'()VSt表示即时速度。'()aVt表示加速度。四．导数的几何意义：函数fx在0x处导数的几何意义，曲线yfx在点00,Pxfx处切线的斜率是0kfx。于是相应的切线方程是：000yyfxxx。题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线yfx在点00,Pxfx处切线：性质：0kfx切线。相应的切线方程是：000yyfxxx（2）曲线yfx过点00,Pxy处切线(有可能点P不在曲线上)：先设切点，切点为(,)Qab,则斜率k='()fa，切点(,)Qab在曲线yfx上，切点(,)Qab在切线00yyfaxx上，切点(,)Qab坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()fa，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）3)1x(36x62x3|'yk2000xx0当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0五．函数的单调性：设函数()yfx在某个区间内可导，（1）'()0fx()fx该区间内为增函数；（2）'()0fx()fx该区间内为减函数；注意：当'()fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()fx在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）()fx在该区间内单调递增'()0fx在该区间内恒成立；（4）()fx在该区间内单调递减'()0fx在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数)(xfy(2)判断导函数)(xfy在区间上的符号(3)下结论①'()0fx()fx该区间内为增函数；②'()0fx()fx该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区