高中数学圆锥曲线试题

圆锥曲线(文科练习题）1.（2011年东城区期末文7）已知斜率为2的直线l过抛物线2yax的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（D）A．24yxB．28yxC．24yx或24yxD．28yx或28yx2．（2011年房山区期末文7）已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点在抛物线28yx的准线上，则双曲线的方程为（A）A．2213yxB．2213xyC．221412xyD．221124xy3．（2011年朝阳期末文7）设椭圆的两个焦点分别为1F，2F，过2F作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（A）A．21B．212C．22D．227.（2011年东城区期末文13）设椭圆的两个焦点分别为1F，2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．答案：21。8．（2011年西城期末文13）已知双曲线22221xyab的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28yx的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.答案：(2,0)，30xy。11．（2011年海淀期末文11）椭圆2212516xy的右焦点F的坐标为.则顶点在原点的抛物线C的焦点也为F，则其标准方程为.答案：(3,0)212yx。答案：)0,5(,120522yx。16.（2011年东城区期末文19）已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长为4，且点3(1,)2在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于,AB两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程．解：（Ⅰ）由题意：24a，2a．所求椭圆方程为22214xyb．又点3(1,)2在椭圆上，可得1b．所求椭圆方程为2214xy．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知224,1ab，所以3c，椭圆右焦点为(3,0)．因为以AB为直径的圆过原点，所以0OAOB．若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为3x．直线AB交椭圆于11(3,),(3,)22两点，1304OAOB，不合题意．若直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为(3)ykx．由22(3),440,ykxxy可得2222(14)831240kxkxk．由于直线AB过椭圆右焦点，可知0．设1122(,),(,)AxyBxy，则2212122283124,1414kkxxxxkk，222121212122(3)(3)[3()3]14kyykxxkxxxxk．所以2221212222124114()141414kkkOAOBxxyykkk．由0OAOB，即22114014kk，可得24211,1111kk．所以直线l方程为211(3)11yx．……………………14分18．（2011年房山区期末文20）已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率32e，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，点A的坐标为（a，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若42||5AB，求直线l的倾斜角；(Ⅲ)若点Q0(0,)y在线段AB的垂直平分线上，且4QBQA，求0y的值．解：（I）由题意可知24a，e32ca，得3c，222bac，解得21b.--2分所以椭圆的方程为2214xy.-----3分(Ⅱ)由（I）可知点A的坐标是(2,0).设点B的坐标为11(,)xy，直线l的斜率为k，则直线l的方程为(2)ykx.于是A、B两点的坐标满足方程组22(2)14ykxxy------4分消去y并整理，得2222(14)16(164)0kxkxk.--5分由212164214kxk，得2122814kxk，从而12414kyk.所以222222228441||2141414kkkABkkk.------6分由42||5AB，得224142145kk.整理得42329230kk，即22(1)(3223)0kk，解得k=1.----7分所以直线l的倾斜角为4或34.----8分(Ⅲ)设线段AB的中点为M，由（II）得到M的坐标为22282,1414kkkk.以下分两种情况：(1)当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是002,,2,QAyQBy，由4QAQB，得y220.-----10分（2）当0k时，线段AB的垂直平分线方程为2222181414kkyxkkk令0x，解得02614kyk.----11分由02,QAy，110,QBxyy，210102222228646214141414kkkkQAQBxyyykkkk4222416151414kkk，--12分整理得272k，故147k，所以02145y.----13分19.（2011年东城区示范校考试文19）已知A（1，1）是椭圆2222byax+＝1（0ab）上一点，12,FF是椭圆的两焦点，且满足124AFAF．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点,CD是椭圆上两点，直线,ACAD的倾斜角互补，求直线CD的斜率．解：（1）由椭圆定义知2a＝4，所以a＝2，……2分即椭圆方程为2224byx+＝1……4分把（1，1）代人得2141b+＝1所以b2=34，椭圆方程为22344xy＝1……6分（2）由题意知，AC的倾斜角不为900,故设AC方程为y=k（x－1）十1,……7分联立14341)1_(22=++=yxxky消去y，得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0．…8分点A（1，1）、C在椭圆上，xC＝131_6_322+kkk……10分AC、AD直线倾斜角互补，AD的方程为y＝－k（x－ｌ）＋1，同理xD＝22_36131kkk……11分又yC＝k（xC－1）＋1，yD＝－k（xD－1）＋1，yC－yD＝k（xC＋xD）－2k．31__=DCDCxxyy．……14分21．（2011年西城期末文18）已知椭圆2222:1xyCab（0ba）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线1ykx相交于两个不同的点,AB，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为1，求△OAB的面积.解：（Ⅰ）由题意得1,2cab，………………2分又221ab，所以21b，22a.………………3分所以椭圆的方程为2212xy.………………4分（Ⅱ）设(0,1)A，11(,)Bxy，00(,)Pxy，联立2222,1xyykx消去y得22(12)40kxkx……（*），………………6分解得0x或2412kxk，所以12412kxk，所以222412(,)1212kkBkk，2221(,)1212kPkk，………………8分因为直线OP的斜率为1，所以112k，解得12k（满足（*）式判别式大于零）.………………10分O到直线1:12lyx的距离为25，………………11分2211(1)ABxy253，………………12分所以△OAB的面积为122252335.………………13分23．（2011年朝阳期末文18）已知点(4,0)M，(1,0)N，若动点P满足6||MNMPPN．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若181275NANB≤≤，求直线l的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(,)Pxy，则(4,)MPxy，(3,0)MN，(1,)PNxy.……2分由已知得22)()1(6)4(3yxx，化简得223412xy，得22143xy.所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为13422yx.…………6分（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为(1)ykx，设A，B两点的坐标分别为11(,)Axy，22(,)Bxy.由22(1),143ykxxy消去y得2222(43)84120kxkxk.………8分因为N在椭圆内，所以0.所以212221228,34412.34kxxkkxxk…………………10分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NANBxxyykxx]1)()[1(21212xxxxk222222243)1(943438124)1(kkkkkkk，……12分所以22189(1)127345kk≤≤.解得213k≤≤.所以31k≤≤或13k≤≤.………13分24．（2011年海淀期末理19）已知点(1,)My在抛物线2:2Cypx(0)p上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线:l12yxb与抛物线交于,AB两点.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（Ⅲ）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值.解：（Ⅰ）抛物线22ypx(0)p的准线为2px，..................1分由抛物线定义和已知条件可知||1()1222ppMF，解得2p，故所求抛物线方程为24yx...........3分（Ⅱ）联立2124yxbyx，消x并化简整理得2880yyb.依题意应有64320b，解得2b..........4分设1122(,),(,)AxyBxy，则12128,8yyyyb，........5分设圆心00(,)Qxy，则应有121200,422xxyyxy.因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为0||4ry，..........6分又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)ABxxyyyyyyyyb.所以||25(6432)8ABrb，............7分解得85b........8分所以12124822224165xxbybyb，所以圆心为24(,4)5.故所求圆的方程为2224()(4)165xy................9分方法二：联立2124yxbyx，消掉y并化简整理得22(416)40xbxb，依题意应有2216(4)160bb，解得2b...................4分设1122(,),(,)AxyBxy，则21212416,4xxbxxb........5分设圆心00(,)Qxy，则应有121200,422xxyyxy，因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为0||4ry...............6分又2222121212121215||()()(1)()[()4]5(6432)44ABxxyyxxxxxxb，又||28ABr，所以有5(6432)8b，....7分解得85b，.............8分所以12485xx，所以圆心为24(,4)5.故所求圆的方程为