2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题

页1第武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合}02|{2xxxA，}2|{axaxB，若}01|{xxBA，则BAA．)2,1(B.)2,0(C．)1,2(D．)2,2(2．已知复数z满足iizz，则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B.第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知}{na是各项均为正数的等比数列，11a，3223aa，则naA．23nB.13nC．12nD．22n4．已知2.0log1.0a，2.0log1.1b，2.01.1c，则a，b，c的大小关系为A．cbaB．bcaC．abcD．bac5．等腰直角三角形ABC中，2πACB，2BCAC，点P是斜边AB上一点，且PABP2，那么CBCPCACPA．4B.2C．2D．46．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是A．643B.323C．274D．2787．已知数列}{na的前n项和nnSn21232，设11nnnaab，nT为数列}{nb的前n项和.若对任意的Nn，不等式39nTn恒成立，则实数的取值范围为A．)48,(B.)36,(C．)16,(D．),16(页2第ABECDMA18．已知过抛物线xy42焦点F的直线与抛物线交于点A，B，||2||FBAF，抛物线的准线l与x轴交于点C，lAM于点M，则四边形AMCF的面积为A．425B.225C．25D．2109．如图，已知平行四边形ABCD中，60BAD，ADAB2，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成DEA1.若M为线段CA1的中点，则在ADE翻折过程中，给出以下命题：①线段BM的长是定值；②存在某个位置，使CADE1；③存在某个位置，使//MB平面DEA1.其中，正确的命题是A．①B．①③C．②③D．①②③10．函数)sin()(xAxf（0A，0，2π0）的部分图象如图所示，给出下列说法：①函数)(xf的最小正周期为π；②直线12π5x为函数)(xf的一条对称轴；③点)0,3π2(为函数)(xf的一个对称中心；④函数)(xf的图象向右平移3π个单位后得到xy2sin2的图象.其中正确说法的个数是A．1B．2C．3D．411．已知F1，F2分别为双曲线14922yx的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记21FAF的内切圆半径为r1，21FBF的内切圆半径为r2，则21rr的值等于A．3B．2C．3D．212．已知函数2lne)(xxxxfx，xxxxgxlne)(2的最小值分别为a，b，则A．baB．baC．baD．a，b的大小关系不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。页3第A1CBAB1DC1EF13．6)12(xx的展开式中，3x项的系数是______.14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x所有可能的取值为______.15．过动点M作圆C：1)2()2(22yx的切线，N为切点.若||||MOMN(O为坐标原点)，则||MN的最小值为______.16．用IM表示函数xysin在闭区间I上的最大值，若正数a满足]2,[],0[2aaaMM，则a的值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本题12分）在ABC中，已知265AB，7AC，D是BC边上的一点，5AD，3DC.（1）求B；（2）求ABC的面积.18．（本题12分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，ABAC，21ACABAA，D，E，F分别为AB，BC，BB1的中点.（1）证明：平面FCA11平面DEB1；（2）求二面角DEBB1的正弦值.19．（本题12分）已知椭圆E：)0(12222babyax的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭页4第0.000500.000750.001000.00125120010008006004002000金额（单位：元）频率组距圆上的点的最短距离为1.（1）求椭圆E的方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，求OAB面积的最大值.20．（本题12分）某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0，200)，[200，400)，[400，600)，…，[1000，1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男10女30总计（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附：P（kK2）0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879页5第))()()(()(22dbcadcbabcadnK.21．（本题12分）已知函数1ee)(xxfx.（1）若e)(axxf对Rx恒成立，求实数a的值；（2）若存在不相等的实数1x，2x，满足0)()(21xfxf，证明：221xx.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为tytx222,22（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为.22cos239.（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若1C与y轴交于点M，1C与2C相交于A、B两点，求||||MBMA的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）（1）已知||||)(xaxxf，若存在实数x，使2)(xf成立，求实数a的取值范围；（2）若0m，0n，且3nm，求证：341nm．页6第A1CBAB1DC1EFGHABCD武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：题号123456789101112答案DABDDDACBCAA二、填空题：13.24014.11，3，1715.82716.4π3或8π9三、解答题：17．（本题12分）在ABC中，已知265AB，7AC，D是BC边上的一点，5AD，3DC.（1）求B；（2）求ABC的面积.解：（1）在ADC中，由余弦定理，得21cosADC，所以120ADC，从而60ADB.在ABD中，由正弦定理，得22sinB，所以45B.……………（4分）（2）由（1）知75BAD，且46275sin.所以8)33(25sin21BADADABSABD，4315sin21ADCDCDASADC，所以875355ADCABDABCSSS.……………（12分）18．（本题12分）解：（1）因为ABAC，ACDE//，所以ABDE.因为1AA平面ABC，DE平面ABC，所以DEAA1.因为AAAAB1，所以DE平面BBAA11.因为FA1平面BBAA11，所以FADE1.易证FADB11，因为DEDDB11，所以FA1平面DEB1.因为FA1平面FCA11，所以平面FCA11平面DEB1.……………（4分）（2）方法一：过B作DBBH1，垂足为H，过H作EBHG1于G，连结BG，则可证BGH为二面角DEBB1的平面角.在BDB1Rt中，求得52BH；在BEB1Rt中，求得622BG.页7第所以515sinBGBHBGH.……………………………（12分）方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.19．（本题12分）解：（1）由,1,3cacb及222cba，得2a，3b.所以，椭圆E的方程为13422yx.……………………………（4分）（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为)0(mmkxy，代入椭圆方程，整理，得01248)34(222mkmxxk.由0，得03422mk.设),(11yxA，),(22yxB，则348221kkmxx，341242221kmxx.于是34341344)(1||2222212212kmkkxxxxkAB.又，坐标原点O到直线l的距离为21||kmd.所以，OAB的面积3434||32||21222kmkmdABS.因为21342)34(34)34(3434||22222222222kmkmkmkmkmkm，所以，3||21dABS.当直线l的斜率不存在时，设其方程为mx，同理可求得3312||21||212mmdABS.所以，OAB面积的最大值为3.……………………………（12分）20．（本题12分）解：（1）因为90000125.070000100.050000075.030000050.0100(x620200)00050.0110000100.0（元），所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元．……………（2分）（2）列联表如下：…因为841.3762.470305050)40203010(10022K，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系．……………………………………（6分）（3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000．81)21()700(333CxP，83)21()800(223CxP，健身达人非健身达人总计男104050女203050总计3070100页8第83)21()900(313CxP，81)21()1000(303CxP，所以850811000839008380081700)(XE（元）因为900850，所以选择方案二更划算．……………………………（12分）21．（