线性代数期末考试题答案

个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途1/11线性代数B期末试题解答05一、判断题(正确填√，错误填×。每小题2分，共10分1．A是n阶方阵，且｜A｜≠0，则n元方程组AX＝b有唯一解。√）2．A，B是同阶相似方阵，则A与B有相同的特征值。√）3．如果X1与X2皆是AX=b的解，则X1＋X2也是AX=b的解。(×4．若A为n阶方阵，其秩rn,那么A任意r个行向量线性无关。(×5．从A中划去一行得到矩阵B，则A的秩≥B的秩。√）二、单项选择题每小题3分，共15分）1．设A是n阶矩阵，其伴随矩阵为A＊，E为单位矩阵。则AA*为(AA）|A|E(BE(CA*(D不能乘2．设A、B、C同为n阶方阵，且满足ABC＝E，则必有C）。A）ACB=EB）CBA=EC）BCA=ED）BAC=E3．设A为n阶方阵，且｜A｜＝5，则｜3A－1）T｜＝C）(An53(Bn35(C3n·51(D3·5n4．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩rn，则方程组C）。个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途2/11A）其基础解系可由r个解组成；B）有r个解向量线性无关；C）有n–r个解向量线性无关；D）无解。5．n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A与对角阵相似的B）A）充分必要条件B）充分而非必要C）必要而非充分条件D）既非充分也非必要三、填空题每小题5分，共25分）1．gfkjephsbcda0000＝(ab-cd(pg-ef。2．A为3阶矩阵，且满足A6,则1A=__1/6__，*3A33·62=972。3．设齐次线性方程组的系数矩阵A＝41352121此方程有可能无解吗?你的回答及理由是不可能，齐次方程组总有解，当β取值为-5时方程组有无穷多解。PtCfXhBjKQ4．已知123,,是四元方程组AX＝b的三个解，其中A的秩()RA=3，41311，034232，则方程组AX＝b的通解为85204131c。5．设285421122A，则｜A｜＝-54，A的秩R(A是3。个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途3/11四、计算下列各题每小题8分，共24分）。1.设340012132A且知AX－A=3X，求矩阵X。解：252334310432313E-AX1-A2.已知向量组13703031111043214321A求向量组A的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。解：00002100101000011370303111104321~AR(A=3；321,,是一最大无关组；32423.设P－1AP＝Λ，10024712P求A11。解：14344573724098163914712100204847124712100247121111111111PPA,PPA五、解方程组本题8分）个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途4/11已知方程组babxxxxxxxxxaxxxxxxxxxx,3345362232315432154325432154321当取什么值时方程组有解？在有解的情况下，求方程组的通解。解：200000000003622101111111334536221031123111111ba~baB当a=0,b=2时方程组有解，这时:000000000000362210251101~B方程组的通解为：X=(-23000T+C1(1–2100T+C2(1–2010T+C3(5–6001TPtCfXhBjKQC1,C2,C3位任意常数。六、本题8分）已知二次型3231212322213214844xxxxxxxxxx,x,xf求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定。解：3503253252315345132500050004124242421T,,A非正定。七．证明题每小题5分，共10分）。1.若A，B都是n阶方阵，如果AB＝0，证明R(A+R(B≤n。个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途5/11证明：由题设，B的各列属于AX=0的解空间,于是R(B≤n-R(A,因此：R(A+R(B≤n。2.设A为n阶非零矩阵，A＊是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A＊＝AT时，证明｜A｜≠0。证明:设A=(aij,由题设aij不全为零。令B=AAT=(bij,则B不是零矩阵，其对角元:njijiiab12若｜A｜=0，则有：AAT=AA*=｜A｜A=0,矛盾。个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途6/11线性代数试题解答(04一、1．F）AAn）2．T）3．F）。如反例：100010000A，000010001B。4．T）相似矩阵行列式值相同）5．F）二、1．选B。初等矩阵一定是可逆的。2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与1，2，3等价,其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。PtCfXhBjKQ3．选C。由052EAA2232()3AAEEAEAEE，112()3AEAE。4．选D。A错误，因为nm，不能保证()(|)RARAb；B错误，0Ax的基础解系含有ARn个解向量；C错误，因为有可能()(|)1RAnRAbn，bAx无解；D正确，因为()RAn。PtCfXhBjKQ5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,PQ，使得1112(,,,)nPAPdiagQBQ，因此,AB都相似于同一个对角矩阵。个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途7/11三、1．!11nn按第一列展开）2．31；53A3=233A）3．相关因为向量个数大于向量维数）。124,,。因为3122，124||0A。4．TTk42024321。因为3AR，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为1322，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。PtCfXhBjKQ5．6a)02AAR四、1．解法一：ABBA1()AEBABAEA。将AE与A组成一个矩阵(|)AEA，用初等行变换求1(|())EAEA。|AEA=221121243233121120)(31rr22112124323310000121313,rrrr12112014323010000123rr121120222110100001322rr1000010112220013253r10000101122200132523rr523100301010100001。故523301100B。解法二：ABBA1()AEBABAEA。个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途8/111021101()332113121326AE，因此1001()103325BAEA。2．解：1111111111111111TA，AA42，11()()()()()()44nnnTTTTTTTTAA。3．解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3RARAb，因此其系数行列式11||112011aAa。即1a或4a。当1a时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111Ab11012301020000于是()(|)23RARAb，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系13122T，原方程组的一个特解100T，故1a时，方程组有无穷多解，其通解为13100122TTk，PtCfXhBjKQ个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途9/11当4a时增广矩阵1141(|)112114116Ab1141022000015，()2(|)3RARAb，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。222111111111(|)112102200220110111100(1)(4)12aaaAbaaaaaaaaaa由于该方程组有无穷多解，得()(|)3RARAb。因此21(1)(4)102aaa，即1a。求通解的方法与解法一相同。4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵122224242A，2122||224(2)(7)242AE因此得到其特征值为122，37。再求特征值的特征向量。解方程组(2)0AEx，得对应于特征值为122的两个线性无关的特征向量1210T，2201T。解方程组(7)0AEx得对应于特征值为37的一个特征向量3122T。再将1210T，2201T正交化为1210Tp，224155Tp。个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途10/11最后将1210Tp，224155Tp，3122T单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵3235032155455311552552，其标准形为232221722yyyf。5．解：1）由02AEAE知-1，2为A的特征值。02BAB02BEA，故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。PtCfXhBjKQ2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。PtCfXhBjKQ3）EA3的特征值为2，5，1，1。故EA3=10。五、1．BAAB为对称矩阵。证明：TTT