职高数学拓展模块(人教案)：椭圆的定义及标准方程

11例题与练习归纳小结——仙女座星系星系中的椭圆——“传说中的”飞碟装饰中的椭圆数学实验•[1]取一条细绳，•[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2•[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形观察做图过程思考：[1]绳长与F1、F2之间的距离关系?[2]在变化过程中,什么始终为定值?F1F2演示[一]椭圆的定义•平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。F1F2M椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：1222MFMFac[二]椭圆方程推导的准备[1]建系设点[2]列等式[3]等式坐标化[4]化简[5]说明MF1F2方程推导解：取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a，则F1,F2的坐标别是(c,0)(c,0)。yoxMF1F2}2|||||{21aMFMFMP222221)(||,)(||ycxMFycxMF因为aycxycx2)()(2222得方程将方程移项,两边平方,得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxaoyx由椭圆的定义，椭圆就是集合2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca整理得设所以即由椭圆的定义可知,0,,22,22cacaca)0(,222bbca222222bayaxb22ba两边除以得)0(,12222babyax------这就是椭圆方程[二]椭圆的标准方程[1])0(12222babyax它表示：[1]椭圆的焦点在x轴[2]焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)[3]c2=a2-b2F1F2M0xy[二]椭圆的标准方程[2])0(12222babxay它表示：[1]椭圆的焦点在y轴[2]焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)[3]c2=a2-b2F1F2Mxy1、椭圆的标准方程有焦点在x轴和在y轴两种。2、椭圆标准方程的等号左边是两项的完全平方和，等号右边是1。3、椭圆标准方程中的a，b及c有着特定的含义，且是一组三角勾股数ac0,ab0,a2-c2=b2,a最大.4、由标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x，y项的分母的大小来确定，焦点在分母大的项对应的字母所在的坐标轴上。例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程15(1)a=4，b=1，焦点在x轴(2)a=4，c=，焦点在y轴上(3)两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2）并且经过点（-1.5，2.5）解:(1)因为焦点在x轴上,所以设所求方程为∵a=4,b=1∴所求方程为11622yx)0(,12222babyax(2)因为焦点在y轴上,所以设所求方程为∵a=4,b=1∴所求方程为)0(12222baaybx11622yx(3)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知,)0(12222baaybx222235352()(2)()(2)2222a求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个。a、b或a、c或b、c。且a2=b2+c2注意：“椭圆的标准方程”是个专有名词，就是指上述的两个方程。形式是固定的。10211023102∴又∴所以所求椭圆方程为10a2c.6410222cab.110622yx例2.判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标1162522yx答：在x轴。（-3，0）和（3，0）116914422yx答：在y轴。（0，-5）和（0，5）112222mymx答：在y轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上。例3.将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标022525922yx192522yx0,,22CBACByAx在上述方程中，A、B、C满足什么条件，就表示椭圆？答：A、B、C同号，且A不等于B。13222yx1312122yx122BCyACx例4(1)方程表示椭圆,求k的取值范围.变式:若焦点在y轴上,求k的范围解:因为表示椭圆,所以2212416xykk024016kk即16k24∴k的取值范围是(16,24)1162422kykx解:因为表示椭圆,所以2212416xykk024016kk即16k24∴k的取值范围是(16,24)解:将椭圆方程5x2-ky2=5化为标准方程2215yxk∵焦点是(0,2)∴c2=4,b2=1,ka52∴1=4∴k=-1k5(2)椭圆的一个焦点是(0,2),求k的值.2255xky例5已知B、C是两定点，|BC|=6，且ΔABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。分析：[1]判断：和是常数；常数大于两个定点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。[2]取过两个定点的直线做x轴，它的线段垂直平分线做y轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。[3]根据已知求出a、c，再推出a、b写出椭圆的标准方程。解：如图，以BC所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有`|AB|+|AC|=10，但当点A在BC上，即y=0时，A、B、C、三点不能构成三角形，所以A的轨迹方程是01162522yyx即点A的轨迹是椭圆，且12c=6，2a=16-6=10，∴c=3，a=5，b2=52-32=16ABCoxy解题程序：[1]根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆[2]象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是标准方程。[3]设椭圆标准方程，即用待定系数法[4]写出椭圆的标准方程练习：[1]已知三角形ABC的一边BC长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程答：)0(192522yyx1、本节课我们了解了椭圆的概念和椭圆的形成过程。2、给出了椭圆的准确定义并推出了椭圆的标准方程。3、椭圆的标准方程有两种，一种焦点在x轴。另一种焦点在y轴。4、给出了椭圆标准方程焦点位置的判断方法。5、求椭圆标准方程的方法主要是利用待定系数的方法求解出a和b。作业教材96页1(3)，2，3(1)、(3)