专题07 离心率的求值或取值范围问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)

Gothedistance【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.【方法点评】方法1定义法解题模板：第一步根据题目条件求出,ac的值第二步代入公式cea，求出离心率e.[来源:学&科&网]例1.若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（）A.43B.32C.21D.41【变式演练1】点P（-3，1）在椭圆12222byax（0ba）的左准线上，过点P且方向为5,2a的光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33B31C22D21方法2方程法Gothedistance解题模板：第一步设出相关未知量；第二步根据题目条件列出关于,,abc的方程；第三步化简，求解方程，得到离心率.例2.已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为1F，2F，P是准线上一点，且12PFPF，124PFPFab，则双曲线的离心率是（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3例3.已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为w.w.w.zxxk.（）mA．65B.75C.58D.95Gothedistance【变式演练2】设双曲线222200xyabab－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y＝x＋相切，则该双曲线的离心率等于（）（A）3（B）2（C）5（D）6[来源:学|科|网]Gothedistance【变式演练3】如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为▲.方法3借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步将这些量结合曲线的几何性质用,,abc进行表示，进而得到不等式，Gothedistance第三步解不等式，确定离心率的范围.例4已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.1,22B.23,0C.1,23D.22,0【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.[【变式演练4】已知椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb，若在椭圆1C上存在点P，使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（）A．1[,1)2B．23[,]22C．2[,1)2D．3[,1)2Gothedistance方法4借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5已知椭圆22221(0)xyabab上一点A关于原点O的对称点为,BF为其右焦点，若,AFBF设,ABF且,,124则椭圆离心率的取值范围是.【答案】26[,]23[来源:Zxxk.Com]Gothedistance【变式演练5】【2014江西赣州期末联考】过椭圆C：)0(12222babyax的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若31＜k＜21,则椭圆的离心率的取值范围是.方法5借助函数的值域求解范围解题模板：第一步根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步通过确定函数的定义域；第三步利用函数求值域的方法求解离心率的范围.[来源:Z#xx#k.Com]Gothedistance例6.已知椭圆221:12xyCmn与双曲线222:1xyCmn有相同的焦点，则椭圆1C的离心率e的取值范围为（）A．2(,1)2B．2(0,)2C．(0,1)D．1(0,)2【答案】A【变式演练6】已知两定点(2,0)A和(2,0)B，动点(,)Pxy在直线:3lyx上移动，椭圆C以,AB为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A.226B.426C.213D.413Gothedistance【高考再现】1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：22221xyab（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（）A.233B.62C.2D.3【答案】BGothedistance【解析】由题意知直线BF1的方程为：bxcby，联立方程组0,byaxbxcby得点Q),(acbcacac，联立2.【2012高考真题新课标理】设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）()A12()B23()C()D【答案】C【解析】3.【2012高考真题江西理】椭圆)0(12222babyax的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，GothedistanceF2.若1AF，21FF，BF1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】55【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率.4【2013年高考新课标1（理）】已知双曲线C:22221xyab(0,0ab)的离心率为52,则C的渐近线方程为（）A．14yxB．13yxC．12yxD．yx5【2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）】如图,21,FF是椭圆14:221yxC与双曲线2C的公共焦点,BA,分别是1C,2C在第二、四象限的公共点.若四边形21BFAF为矩形,则2C的离心率是（）（）GothedistanceA．2B．3C．23D．26∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.6【2013年高考湖南卷（理）】设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点,P是C上一点,若216,PFPFa且12PFF的最小内角为30,则C的离心率为___.7.【2014高考广东卷理第4题】若实数k满足09k，则曲线221259xyk与曲线221259xyk的Gothedistance（）A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等8.【2014高考湖北卷理第9题】已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123FPF,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.433B.233C.3D.2Gothedistance9.【2014江西高考理第16题】过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于,AB，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为.10.【2014山东高考理第10题】已知0ba，椭圆1C的方程为12222byax，双曲线2C的方程为Gothedistance22221xyab，1C与2C的离心率之积为23，则2C的渐近线方程为（）A.02yxB.02yxC.02yxD.02yx11.【2014浙江高考理第16题】设直线)0(03mmyx与双曲线12222byax（0ab）两条渐近线分别交于点BA,，若点)0,(mP满足PBPA,则该双曲线的离心率是__________12.【2014重庆高考理第8题】设21FF，分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，双曲线上Gothedistance存在一点P使得,49||||,3||||2121abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为（）A.34B.35C.49D.313.【2014高考北京理第19题】已知椭圆C：2224xy.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y上，且OAOB，试判断直线AB与圆222xy的位置关系，并证明你的结论.Gothedistance考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.14.【2014高考福建理第19题】已知双曲线)0,0(1:2222babyaxE的两条渐近线分别为xylxyl2:,2:21.（1）求双曲线E的离心率；Gothedistance（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线21,ll于BA,两点（BA,分别在第一，四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.Gothedistance若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为221416xy.以下证明:当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：221416xy也满足条件.【反馈练习】1.【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试7】已知抛物线24yx与双曲线222210,0xyabab有Gothedistance相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为().A．22B．51C．31D．2+12.【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试10】如图，已知椭圆221:111xCy，双曲线22222:1yxCab(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为().A、5B、17C、5D、2147Gothedistance3.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）15】已知双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_______．所以双曲线的离心率为2.考点：双曲线的性质，两直线的位置关系4.【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试13】过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为.[Gothedistance5.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理9】已知21,FF分别是双曲线C：22221(0,0)xyabab的左右焦点，以21FF为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则21cosPFF等于().A．35B．34C．45D．566.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟试题.理3】已知双曲线方程224312xy，则双曲线的离心率为（）GothedistanceA.73B.213C.77D.72[来源:Z|xx|k.Com]考点：双曲线方程、离心率.7.【云南省玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷，理12】已知12,FF分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，1OF为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当12PFF的面积等于2a时，双曲线的离心率为（）A.2B.3C.