专题08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)

Gothedistance【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．【方法点评】方法一定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】【四川省广安市2014年高2011级第三次诊断考试20】(本小题13分)已知A、B是椭圆1222yx上的两点，且FBAF，其中F为椭圆的右焦点.(1)求实数的取值范围;(2)在x轴上是否存在一个定点M，使得MBMA为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.[来源:学科网]Gothedistance【变式演练1】【2015届广东惠州市第二次调研】已知椭圆C过点6(1,)2M，点(2,0)F是椭圆的左焦点，点P、Q是椭圆C上的两个动点，且PF、MF、QF成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.GothedistanceGothedistanceGothedistance方法二定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试20】椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的离心率为35，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为45的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，412PAPB(1)求C的方程；(2)证明：22||||PAPB为定值.Gothedistance【变式演练2】【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】如图，已知椭圆)0(1:22221babyaxC过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为12FF、.点P为直线2lxy：＋＝上且不在x轴上的任意一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为AB、和CDO、，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程．(2)设直线12PFPF、的斜率分别为12kk、.[来源:学,科,网](ⅰ)证明：2131kk＝2.(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OAOBOCOD、、、的斜率OAOBOCODkkkk、、、满足0OAOBOCODkkkk＋＋＋＝？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明由．[来源:Z_xx_k.Com]GothedistanceGothedistance【高考再现】1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc到直线:20lxy的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PAPB，其中,AB为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点00,Pxy为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值．GothedistanceGothedistance2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc到直线l:20xy的距离为322.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PAPB,其中,AB为切点.Gothedistance(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)当点00,Pxy为直线l上的定点时,求直线AB的方程；(Ⅲ)当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.解：(Ⅰ)依题意,设抛物线C的方程为24xcy,由023222c结合0c,[来源:Z_xx_k.Com]解得1c.所以抛物线C的方程为24xy.(Ⅱ)抛物线C的方程为24xy,即214yx,求导得12yxGothedistance3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.Gothedistance4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】椭圆C：222210xyabab的左、右焦点分别是12,FF，离心率为23，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PFPF，设12FPF的角平分线PM交C的长轴于点,0Mm，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l,使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的12,PFPF斜率分别为12,kk.若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.Gothedistance001200,,33yykkxx0120211xkky.Gothedistance5.【2012年高考湖南卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.解：（Ⅰ）解法1：设M的坐标为(,)xy，由已知得222(5)3xxy，易知圆2C上的点位于直线2x的右侧.于是20x，所以22(5)5xyx.Gothedistance0102123412400(4)(4)ykykyyyykk2012012124004()16ykkykkkkGothedistance22001212400166400yykkkk.所以，当P在直线4x上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400..6.【2012年高考辽宁卷理科】如图，椭圆22022:+=1b0,a,bxyCaab为常数，动圆222111:+=,Cxytbta.点12,AA分别为0C的左、右顶点，1C与0C相交于,,,ABCD四点（1）求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=Cxyt与0C相交于',',','ABCD四点，其中2bta，12tt.若矩形ABCD与矩形''''ABCD的面积相等，证明：2212+tt为定值Gothedistance7.【2012年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(0)Fc，，2(0)Fc，．已知(1)e，和32e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF[来源:学科网]与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P．（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值．ABPO1F2Fxy（第19题）Gothedistance∴设1AF、2BF的方程分别为=1=1myxmyx，，11221200AxyBxyyy，，，，，,Gothedistance由①②得，212221=2mAFBFm，221=2mAFBFm，∴1223+=22=222PFPF,∴12PFPF是定值.8.【2014山东，理21】已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有||||FAFD.当点A的横坐标为3时，ADFGothedistance为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线1//ll，且1l和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.故直线AB的斜率kAB＝－y02.因为直线l1和直线AB平行，Gothedistance所以点B到直线AE的距离为d＝4x0＋x0＋4＋my0＋8y0－11＋m2＝4（x0＋1）x0＝4x0＋1x0，则△ABE的学科网面积S＝12×4x0＋1x0x0＋1x0＋2≥16，当且仅当1x0＝x0，即x0＝1时，等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.9.【2014辽宁，理20】圆224xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1xyCab过点P且离心率为3.（1）求1C的方程；Gothedistance（2）椭圆2C过点P且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点且与2C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求l的方程.x1＋x2＝m（y1＋y2）＋23＝43m2＋2，③x1x2＝m2y1y2＋3m（y1＋y2）＋3＝6－6m2m2＋2.④因为AP→＝(2－x1，2－y1)，BP→＝(2－x2，2－y2)，由题意知AP→·BP→＝0，所以x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，⑤Gothedistance将①②③④代入⑤式整理得2m2－26m＋46－11＝0，解得m＝362－1或m＝－62＋1.因此直线l的方程为x－(362－1)y－3＝0或x＋(62－1)y－3＝0.10.【2014江西，理20】如图，已知双曲线C:2221xya(0a)的右焦点F,点BA,分别在C的两条渐近线上，xAF轴，BFOBAB,∥OA(O为坐标原点）.（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点)0)((00,0yyxP的直线1:020yyaxxl与直线AF相交于点M，与直线23x相交于点N，证明点P在C上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值（2）A(2，332)，13:00yyxxl，F（2,0），M(2，00332yx)，N(23，0022yx)…………………………………………………9分Gothedistance3323|32||32|32)2(133|32|2)2(3|32|242413|32|002020020200202000xxxxxxyxyxyxNFMF【反馈练习】1．已知动圆E过定点)2,0(M，且在x轴上截得弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C（1）求曲线C方程；（2）点A为直线l：20xy上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为QP,，求证：直线PQ恒过定点，并求出该定点．2．过x轴上动点(,0)Aa引抛物线21yx的两条切线AP、AQ，P、Q为切点,设切线AP、AQ的斜率分别为1k和2k．Gothedistance（Ⅰ）求证：124kk；（Ⅱ）求证：直线PQ恒过定点，并求出此定点坐标；Gothedistance3．【天津一中2014---2015高三年级月考数学试卷，理19】已知椭圆22221,0xyabab的离心率为22，且过点2,2(1)求椭圆的标准方程：(2)四边