一般形式的柯西不等式

一般形式的柯西不等式定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.变变形……,可得下面两个不等式:⑴若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.⑵若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.这两个结论也是非常有用的.三角不等式定理2(柯西不等式的向量形式)若,是两个向量,则≥.当且仅当是零向量或存在实数k，使k时,等号成立.111(,)Pxy222(,)PxyOxy|-|12xx12|-|yy几何意义（用柯西不等式证明）定理3(二维形式的三角不等式)设1122,,,,xyxyR那么22222211221212()()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy123PPP111222333,,,,,PxyPxyPxy222222131323231212xxyyxxyyxxyy当三角形在任意位置时显然有：根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？探究:从平面向量的几何背景能得到≥,将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不等式:2222212121122()()()aabbabab≥,当且仅当1221abab时,等号成立.类似地,从空间向量的几何背景也能得到≥,将空间向量的坐标代入,化简后猜想并证明结论得三维形式的柯西不等式:2222222123123112233()()()aaabbbababab≥,当且仅当,共线时,等号成立.0,即或存在一个实数k,使得(1,2,3)iiakbi时,等号成立.猜想柯西不等式的一般形式222222212121122()()()≥②nnnnaaabbbababab，aaaAn22221设，bbbCn22221nnbababaB22112ACB不等式就是②≥分析：)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又∴二次函数fx的判别式0△≤,即2222222112212124()4()()0nnnnabababaaabbb≤。等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn222222212121122()()()nnnbaaabbbababab≥即222111nnnkkkkkkkabab思考：一般形式的三角形不等式及其证明22222222212121122nnnnaaabbbababab证明：22222212212(111)()(111)nnaaaaaa≥继续2答案例1已知12,,,naaa都是实数，求证：222212121()nnaaaaaan≤22221212()()nnnaaaaaa≥222212121()nnaaaaaan≤例2已知,,,abcd是不全相等的正数，证明：2222abcdabbccdda例2已知,,,abcd是不全相等的正数，证明：2222abcdabbccdda证明：222222222()()()acdbcdaabbccdda≥∵,,,abcd是不全相等的正数，abcdbcda不成立.∴222222()()abcdabbccdda2222abcdabbccdda即,,,abcd9abcbcabcaabc练习讨论：若是正数，求证：的最小值求已知例222,1323zyxzyx141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx例4、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积之和最小？12,,,naaa121naaa222211212231112nnnnnaaaaaaaaaaaa选用：例5、已知都是正实数，且求证：作业：P411、2、3、4、5、6