2014高考数学(理)复习方案：第23讲 正弦定理和余弦定理的应用资料

第23讲正弦定理和余弦定理的应用双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．考试说明第23讲正弦定理和余弦定理的应用——知识梳理——返回目录双向固基础一、实际测量中常用的角1．仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的________和目标视线的夹角，目标视线在水平视线________的叫仰角，目标视线在水平视线________的叫俯角，如图3－23－1(a)所示．2．方位角：指从________顺时针转到目标方向线的水平角，如图3－23－1(b)中B点的方位角为α.水平视线上方下方正北方向第23讲正弦定理和余弦定理的应用返回目录双向固基础图3－23－1返回目录双向固基础第23讲正弦定理和余弦定理的应用3．方向角：相对于某正方向的________，如北偏东α°即由正北方向顺时针旋转α°到达目标方向(如图3－23－1(c))，其他方向角类似．4．坡角：坡面与________所成的二面角的度数(如图3－23－1(d)，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与________之比(如图3－23－1(d)，i为坡比)．二、求解与三角形有关的实际问题的步骤正弦定理和余弦定理在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是：水平角水平面水平长度返回目录双向固基础第23讲正弦定理和余弦定理的应用2．根据题意画出示意图，将实际问题抽象成三角形模型；3．根据已知条件与求解目标，将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理及面积公式等有关知识正确求解；4．检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍，得出实际问题的解．——疑难辨析——返回目录双向固基础第23讲正弦定理和余弦定理的应用1．各种角的判断(1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系不能确定．()(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.()返回目录双向固基础第23讲正弦定理和余弦定理的应用[答案](1)×(2)×(3)×[解析](1)俯角就是水平线与水平线下面直线的夹角，即从上面向下看的角度；仰角就是水平线与水平线上面直线的夹角，即从下面向上看的角度．(2)如图所示，从A处望B处和从B处望A处视线均为AB，而α，β同为AB与水平线所成的角，因此α＝β.返回目录双向固基础第23讲正弦定理和余弦定理的应用(3)如图所示，P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°，或西偏南46°.返回目录双向固基础第23讲正弦定理和余弦定理的应用2．距离条件的使用(1)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cosα＝34.()(2)在测量距离问题时，只要测量角度，不一定要选取合适的基线长度．()返回目录双向固基础第23讲正弦定理和余弦定理的应用[答案](1)×(2)×[解析](1)由坡比为34，即tanα＝34，则cosα＝11＋tan2α＝45.(2)在测量中，要根据实际需要选取合适的基线长度，因为不论是应用正弦定理还是余弦定理，至少需要已知一边的长度．返回目录点面讲考向第23讲正弦定理和余弦定理的应用考点考频示例(难度)1.测量距离问题02.测量高度问题03.测量角度问题04.平面图形的几何计算0说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2009～2012年浙江卷情况．►探究点一测量距离问题返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用例1如图3－23－2所示，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，图3－23－2B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.(1)求证：AB＝BD.(2)求BD.返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[思考流程](1)分析：依据角之间的关系求得∠BCD及AC和DC关系；推理：证明三角形全等；结论：得出对应边相等．(2)分析：转化为三角形ABC问题；推理：利用正弦定理计算；结论：可解得BD.返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[解析](1)证明：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACB≌△DCB，所以BD＝BA.(2)在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620(km)，∴BD＝32＋620(km)．[点评]1.一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用2．解斜三角形应用题常有以下几种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；(3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用归纳总结所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用►探究点二测量高度问题返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用例2[2012·太原模拟]测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°(如图3－23－3)，求塔高AB.图3－23－3返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[思考流程]分析：转化为三角形BCD问题；推理：利用正弦定理计算；结论：得出AB的值．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝s·sin60°sin45°＝62s.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝62s×tan30°＝22s.[点评]①在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；②准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用归纳总结求解此类解三角形问题首先要能够读懂题意，分析清楚题意，要能够将实际问题转化为数学问题，即解三角形问题，在具体求解过程中要能够明确三角形中的边角关系，同时要注意多角情况和计算的准确性．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用►探究点三测量角度问题返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用例3如图3－23－4，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？图3－23－4返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[思考流程]分析：根据两船所用时间相等，依据正余弦定理解三角形；推理：余弦定理解三角形ABC、正弦定理解三角形BCD；结论：得出所求角∠BCD.返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[解析]设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26×32＝22，返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向最快追上走私船．[点评]①测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；②在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用归纳总结在处理有关角度问题时，理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)、方向角是一个关键；解题时根据这些概念画出图形，然后分析求解目标所在的三角形，在整体中寻找这个三角形可解的条件，然后制订计划具体求解各个三角形．►探究点四平面图形的几何计算返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用例4如图3－23－5，在△ABC中，AC＝5，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，且DC＝42，cos∠DAC＝35.(1)求AD长；(2)求cosB的值．图3－23－5返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[思考流程](1)分析：考虑△ACD，依据余弦定理；推理：利用余弦定理、方程的思想求解；结论：得出AD值．(2)分析：依据角B与∠BAD之间的关系和正弦定理；推理：解三角形ADC；结论：得出∠B的三角函数值．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[解析](1)设AD＝x，则32＝x2＋25－2×x×5×35，即x2－6x－7＝0.解得x＝7或x＝－1(舍去)．则AD＝7.(2)在△ADC中，由cos∠DAC＝35，得sin∠DAC＝sin∠DAB＝45，5sin∠ADC＝4245，sin∠ADC＝22.返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用∵CDAC，∴∠ADC为锐角，∴∠ADC＝π4，∠ADB＝3π4.∴cosB＝cosπ－3π4－∠BAD＝cosπ4－∠BAD＝22×35＋22×45＝7210.[点评]三角形中的几何计算，需将所给图形分割成若干个三角形，根据三角形已知的边角条件合理选择正、余弦定理求解；找准所求量所在的三角形，把问题化为三角形中边角关系求解，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．下面变式题综合应用了正、余弦定理求解．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用归纳总结在解三角形时，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解．返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用变式题如图3－23－6，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝108，cos∠ADC＝－14.(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC边的长．图3－23－6返回目录点面讲考点第23讲正弦定理和余弦定理的应用[解析](1)因为cosB＝108，所以sinB＝368.又cos∠ADC＝－14，所以sin∠ADC＝154，∴sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝154×108－－14×368＝64.返