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北京大学程红霞学姐考研数学公式总结极其罕见的宝贵资料,2013年,程红霞学姐考研数学148分,考到北大光华管理学院!!这个是她亲手自己总结的考研数学公式,比起市面上的公式书更容易记忆和吸收!太珍贵了!!1(一)函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数和隐函数函数:设有两个变量x和y,变量x的定义域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则,变量y有一个确定的值与之对应,则称变量y为变量x的函数,记作:yfx基本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立:基本初等函数包括五类函数:1幂函数:yxR;2指数函数xya(0a且1a);3对数函数:logayx(0a且1a);4三角函数:如sin,cos,tanyxyxyx等;5反三角函数:如arcsin,arccos,arctanyxyxyx等.初等函数:由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成,并可用一个数学式子表示的函数,称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及其性质,函数的左极限与右极限1000lim()()()xxfxAfxfxA2000lim()()(),lim()0xxxxfxAfxAaxax其中3(保号定理)0lim(),0(0),0xxfxAAA设又或则一个,000(,),()0(()0)xxxxxfxfx当且时,或2无穷小和无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较lim)0,lim()0xx设(()(1)lim0,())()xxxx若则是比(高阶的无穷小,记为(x)=o((x)).()(2)lim,())()xxxx若则是比(低阶的无穷小,()(3)lim(0),())()xccxxx若则与(是同阶无穷小,()(4)lim1,())()xxxx若则与(是等价的无穷小,记为(x)(x)()(5)lim(0),0,())()kxcckxxx若则是(的k阶无穷小0x常用的等阶无穷小:当时sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx2111cos21(1)1nxxxxn无穷小的性质(1)有限个无穷小的代数和为无穷小(2)有限个无穷小的乘积为无穷小(3)无穷小乘以有界变量为无穷小The在同一变化趋势下,无穷大的倒数为无穷小;非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四则运算lim(),lim().fxAgxB则3(1)lim(()())fxgxAB;(2)lim()()fxgxAB;()(3)lim(0)()fxABgxB极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则,两个重要极限:1()()(),xxfxx0夹逼定理)设在的邻域内,恒有(00lim()lim(),xxxxxxA且0lim()xxfxA则2单调有界定理:单调有界的数列必有极限3两个重要极限:0sin(1)lim1xxx10(2)lim(1)exxx重要公式:0010111011,lim0,,nnnnmmxmmanmbaxaxaxanmbxbxbxbnm4几个常用极限特例lim1,nnnlimarctan2xxlimarctan2xxlimarccot0,xxlimarccotxxlime0,xxlime,xx0lim1,xxx4函数连续的概念:函数间断点的类型:初等函数的连续性:闭区间上连续函数的性质连续函数在闭区间上的性质:(1)(连续函数的有界性)设函数fx在,ab上连续,则fx在,ab上有界,即常数0M,对任意的,xab,恒有fxM.(2)(最值定理)设函数fx在,ab上连续,则在,ab上fx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得:max,,axbffxab;min,,axbffxab.(3)(介值定理)若函数fx在,ab上连续,是介于fa与fb(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在,ab上至少一个,使得.fab(4)(零点定理或根的存在性定理)设函数fx在,ab上连续,且0fafb,则在,ab内至少一个,使得0.fab(二)一元函数微分学5考试内容对应公式、定理、概念导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和物理意义1导数定义:0000()()'()limxfxxfxfxx(1)或0000()()'()limxxfxfxfxxx(2)2函数()fx在0x处的左、右导数分别定义为:左导数:00000000()()()()()limlim,()xxxfxxfxfxfxfxxxxxxx右导数:0000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx函数的可导性与连续性之间的关系,平面曲线的切线和法线Th1:函数()fx在0x处可微()fx在0x处可导Th2:若函数()yfx在点0x处可导,则()yfx在点0x处连续,反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:0()fx存在00()()fxfx00()()(,)fxxxfxMxy0设函数在处可导,则在处的0000000-'()()1-(),'()0.'()yyfxxxyyxxfxfx切线方程:法线方程:导数和微分的四则运算,初等函数的导数,四则运算法则:设函数()uux,()vvx在点x可导则(1)()uvuv()duvdudv(2)()uvuvvu()duvudvvdu(3)2()(0)uvuuvvvv2()uvduudvdvv基本导数与微分表(1)yc(常数)0y0dy6(2)yx(为实数)1yx1dyxdx(3)xyalnxyaalnxdyaadx特例(e)exx(e)exxddx(4)1lnyxa1lndydxxa特例lnyx1(ln)xx1(ln)dxdxx(5)sinyxcosyx(sin)cosdxxdx(6)cosyxsinyx(cos)sindxxdx(7)tanyx221seccosyxx2(tan)secdxxdx(8)cotyx221cscsinyxx2(cot)cscdxxdx(9)secyxsectanyxx(sec)sectandxxxdx(10)cscyxcsccotyxx(csc)csccotdxxxdx(11)arcsinyx211yx21(arcsin)1dxdxx(12)arccosyx211yx21(arccos)1dxdxx(13)arctanyx211yx21(arctan)1dxdxx(14)arccotyx211yx21(arccot)1dxdxx(15)yshxychx()dshxchxdx(16)ychxyshx()dchxshxdx复合函数,反函1反函数的运算法则:设()yfx在点x的某邻域内单调连7数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法,续,在点x处可导且()0fx,则其反函数在点x所对应的y处可导,并且有1dydxdxdy2复合函数的运算法则:若()x在点x可导,而()yf在对应点(()x)可导,则复合函数(())yfx在点x可导,且()()yfx3隐函数导数dydx的求法一般有三种方法:(1)方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的复合函数.例如1y,2y,lny,ey等均是x的复合函数.对x求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由(,)0Fxy知(,)(,)xyFxydydxFxy,其中,(,)xFxy,(,)yFxy分别表示(,)Fxy对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性高阶导数,一阶微分形式的不变性,常用高阶导数公式(1)()()()ln(0)(e)exnxnxnxaaaa(2)()(sin)sin()2nnkxkkxn(3)()(cos)cos()2nnkxkkxn(4)()()(1)(1)mnm-nxmm-m-n+x8(5)()(1)(1)!(ln)(1)nnnnxx(6)莱布尼兹公式:若()()ux,vx均n阶可导,则()()()0()nniin-ini=uvcuv,其中(0)u=u,(0)v=v微分中值定理,必达法则,泰勒公式Th1(费马定理)若函数()fx满足条件:(1)函数()fx在0x的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有0()()fxfx或0()()fxfx,(2)()fx在0x处可导,则有0()0fxTh2(罗尔定理)设函数()fx满足条件:(1)在闭区间[,]ab上连续;(2)在(,)ab内可导,则在(,)ab内一个,使()0fTh3(拉格朗日中值定理)设函数()fx满足条件:(1)在[,]ab上连续;(2)在(,)ab内可导;则在(,)ab内一个,使()()()fbfafbaTh4(柯西中值定理)设函数()fx,()gx满足条件:(1)在[,]ab上连续;(2)在(,)ab内可导且()fx,()gx均存在,且()0gx则在(,)ab内一个,使()()()()()()fbfafgbgag洛必达法则:法则Ⅰ(00型)设函数,fxgx满足条件:00lim0,lim0xxxxfxgx;,fxgx在0x的邻域内可导(在0x处可除外)且0gx;0limxxfxgx存在(或).则900limlim.xxxxfxfxgxgx法则I(00型)设函数,fxgx满足条件:lim0,lim0xxfxgx;一个0X,当xX时,,fxgx可导,且0gx;0limxxfxgx存在(或).则00limlim.xxxxfxfxgxgx法则Ⅱ(型)设函数,fxgx满足条件:00lim,limxxxxfxgx;,fxgx在0x的邻域内可导(在0x处可除外)且0gx;0limxxfxgx存在(或).则00limlim.xxxxfxfxgxgx同理法则II(型)仿法则I可写出泰勒公式:设函数()fx在点0x处的某邻域内具有1n阶导数,则对该邻域内异于0x的任意点x,在0x与x之间至少一个,使得2000001()()()()()()2!fxfxfxxxfxxx10()00()()()!nnnfxxxRxn其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn称为()fx在点0x处的n阶泰勒余项.令00x,则n阶泰勒公式()21(0)()(0)(0)(0)()2!!nnnffxffxfxxRxn……(1)其中(1)1()()(1)!nnnfRxxn,在0与x之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在00x处的泰勒公式1211e12!!(1)!nxnxxxxenn或2111()2!!nnxxxoxn1311sinsinsin(
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