大学物理振动

第四章振动振动是一种普遍的运动形式。如：机械振动电磁振动广义振动：任一物理量(如位移、电流等)振动分类受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动)无阻尼自由谐振动在某一数值附近反复变化。其特点是：(1)有平衡点；(2)具有重复性(周期性)简谐振动是最简单、最基本的振动形式，一切复杂的振动都可由简谐振动合成。4.1简谐振动一.简谐振动表达式x(t)=Acos(t+)特点(1)等幅振动(2)周期振动x(t)=x(t+T)一物理量随时间的变化规律遵从余弦函数关系，则称该物理量作简谐振动。X－AA0表达式x(t)=Acos(t+)二.描述简谐振动的特征量1.振幅A：即最大位移：x＝±A3.周期T和频率v2.角频率（圆频率）ω（弧度/秒：rad/s）而v=1/T＝ω/2π（Hz）∵ωT＝2π∴T＝2π/ω（s）（完成一次全振动所需的时间）（单位时间内完成全振动的次数）4.相位(1)(t+0)是t时刻的相位(2)0是t=0时刻的相位——初相三.简谐振动的描述方法1.解析法由x=Acos(t+0)已知表达式A、T、0已知A、T、0表达式2.曲线法0xmx0=00A-Atx0=/2T已知曲线A、T、0已知A、T、0曲线3.旋转矢量法0t+00xxt=tt=0x=Acos(t+0)四.相位差=(2t+2)-(1t+1)对两同频率的谐振动=2-1初相差•同相和反相：当=2k,(k=0,1,2,…),两振动步调相同,称同相·AA当=(2k+1),(k=0,1,2,…),两振动步调相反,称反相。x2Tx0A1-A1A2-A2x1t反相tx0A1-A1A2-A2x1x2T同相•超前和落后若=2-10,则x2比x1较早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。超前、落后以的相位角来判断五.简谐振动的速度、加速度1.速度)sin(0tAtddxv)2cos()(0tAtvx2Tx0A1-A1A2-A2x1t2超前于12=01=－π/2•速度也是简谐振动v比x超前/22.加速度)cos()cos(020222tAtAtdxda也是简谐振动，a比x超前0Ttx、v、ax2Av0000a0000减速加速减速加速AA-A-A-2Ava解题方法由初始条件求解振幅和初位相：设t=0时，振动位移：x=x0振动速度：v=v0）（tcosAxcosAxo）（tsinAvsinAvocosAxosinAvo2222222AcossinAvxoo）（2020vxAcosAxosinAvo2222222AcossinAvxoo）（ooxvant例题1一质点沿X轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向X轴正方向运动。求1、振动方程；2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度；3、如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向X轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。解：设简谐振动表达式为已知：A=12cm,T=2s，x=Acos(t+)12sTx=0.12cos(t+)初始条件：t=0时，x0=0.06m,v000.06=0.12cos321cos00sinAv0sin3振动方程：）（3120tcos.xYX33－当t=0时,位移为6cm，且向X轴正方向运动。s/m.tsin.dtdxv.t.t.t18903120505050）（2502505010303120S/m.tcos.dtdva.t.t.t）（2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度振动方程：）（3120tcos.x设在某一时刻t1，x=－0.06m）（31200601tcos..代入振动方程：2131）（tcos323231－或tstt132311yx3232－3、如果在某时刻质点位于x=－0.6cm，且向X轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。振动方程：）（3120tcos.xstt61123322sttt65161112YX323π/2t23、如果在某时刻质点位于x=－0.6cm，且向X轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。stt132311例题2两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2=-A/2处，且向右运动。求这两个质点的位相差。）（11tcosAx）（12tcosAA31t01）（tsin011）（tsinAv31t解：A-AoA/2-A/2YX33－322t）（22tcosAA02＜）（tsin022）（tsinAv322t)()(21tt)32(3YX3232－A-AoA/2-A/2例题3一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量的物体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，已知ω＝6.0rad/s。试求：1、简谐振动方程；2、物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。s/rad.,v,m.x06004000m.xvxA040022020振幅：mt.cos.x）（得：06040解：000xvarctan所以：φ＝0rad/sA＝0.04mmt.cos.x）（得：06040s/rad0.6,0v,m04.0x00t＝0时：x＝Acos（ωt＋φ）v＝－ωAsin（ωt＋φ）把初始条件代入方程组：0.04＝Acosφ0＝－6Asinφ得：AxarccosttcosAx）（）（306040sin..tsinAv）（或－33212arccosAAarccost32t,AxAx:按题意12080sm.yx33－2、物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。4.2谐振子振动系统：参与振动的一个或几物体所构成的一个系统。谐振系统：作简谐振动的振动系统谐振子：作简谐振动的系统一、弹簧振子弹簧振子：一根轻弹簧和一个刚体构成的一个振动系统F根据胡克定律：（k为劲度系数或倔强系数）xkF（1）在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。（2）弹性力F和位移x恒反向，始终指向平衡位置。回复力：始终指向平衡位置的作用力xXo振动的条件:（1）存在回复力；（2）物体具有惯性振动过程：X0A-AF由牛顿第一定律得：xkdtxdmF22xmkdtxd22得:xmkdtxd22xdtxd222比较结论：（1）弹簧振子的振动为简谐振动。（2）kmT22周期：mk角频率：周期T与振子的本身性质（k和m）有关，而与其它因素无关。例：T在地球和月球上一样。二、简谐振动的能量平均值1、振动系统的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子势能：xX0v)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpXtAxcosXEpEk221kAEpkEEE2222212121mmvAmkAE)(cos21)(sin2122222tkAtAm谐振系统的总机械能：（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）结论：XEpEk221kAEXtAxcosdttATxT0cos1tdtkATETp220cos2112、平均值（1）振动位移的平均值：tAxcos（2）谐振动势能的平均值：0sin10TtTAEkA21412平均意义上说，简谐振动系统的能量中一半是动能，另一半是势能。（3）谐振动动能的平均值：dttkATETk)(sin211220结论：EkA21412OlmgT22sindtsdmmgls很小又22sindtdmlmg三、单摆sinlgtdd22结论：单摆的振动是简谐振动。lgglT2＋φ）（θ＝tlgAcos设振子最大摆角为θm，若考虑θm的影响：）＋θ＋θ＋（π＝26992411242mmsinsinglT6422sindtdmlmgsinθm真周期/0°1.00005°1.000510°1.001920°1.007730°1.017445°1.039760°1.0719g/l2π设振子最大摆角为θm，若考虑θm的影响：）＋θ＋θ＋（π＝26992411242mmsinsinglT641、概念2、运动方程重力矩转动定律3、周期与频率4、应用：1）测重力加速度；2）测转动惯量四、复摆五.电磁振荡一、振荡电路无阻尼自由电磁振荡电磁振荡：电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性变化的现象。LC振荡回路：KCLCL+Q-Q(1)CLi(2)CL+Q-Q(3)CLi(4)LC回路的振荡过程1.LC振荡方程CLi自感电动势：(书P208:9.15式)dtdiL电容器电压：(书P153：7.43式)CqU回路方程：CqdtdiLdtdqiqLCdtqd122)cos(tQqoLC1LC212LCT2oQImax)sin(maxtIi)sin(tQdtdqio电流：qLCdtqd122）（）（tcosUtcosCQCqUoo电压：在LC电路中，电流、电压、电荷都随时间作简谐振动。结论：2.LC振荡的能量电场能量：）（tcosCQCqWoe22222磁场能量：）（tsinLILiWom2222121metsinLItcosCQWmaxo222212）（omaxQILC，12222maxoLICQ总能量：CQLI在LC电路中，电能和磁能交替转换，但总能量保持不变。结论：例4.2弹簧下悬一质量为0.1kg的小球时，其伸长量是8cm。现在弹簧下端挂一个M＝0.25kg的物体构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉4cm后，再给它向上的初速度0.21m/s。取竖直向下为X轴正方向。求：1.物体的振动周期;2.任意时刻的振动函数和速度。解：1.求周期T：由已知：kx0＝mg∴k＝mg/x0=0.1×9.8/0.08＝12.25（N/m）角频率）（＝ω＝s/rad0.2512.25Mk7T＝2π/ω≈0.90（s）如图建立坐标系，规定静止时小球位置为坐标原点。0X/m则振动函数：x(t)=Acos(7t+φ）v(t)=－7Asin(7t+φ）x(0)=0.04m已知：v(0)=－0.21m/s2.求任意时刻的振动函数和速度：m.vxA0502020rad..xvantoo640750x(0)=0.04m已知：v(0)=－0.21m/s1）直接把初始条件带入下列公式，求A，φ：解得：tanφ＝(－0.21)/(－7×0.04)＝0.75∴φ≈0.64radA＝0.05m所