高等数学习题详解-第2章-极限与连续

习题2-11.观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1)1nnxn;(2)2(1)nnx；(3)13(1)nnxn；(4)211nxn.解：(1)此数列为12341234,,,,,,23451nnxxxxxn所以lim1nnx。(2)12343,1,3,1,,2(1),nnxxxxx所以原数列极限不存在。(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234nnxxxxxn所以lim3nnx。(4)12342111111,1,1,1,,1,4916nxxxxxn所以lim1nnx2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界;(2)有界数列一定收敛；(3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0.解：(1)正确。(2)错误例如数列(-1)n有界，但它不收敛。(3)正确。(4)错误例如数列21(1)nnxn极限为1，极限大于零，但是11x小于零。*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1)1(1)lim1nnnn;(2)222lim11nnnn；(3)323125limnnn证：(1)对于任给的正数ε，要使1(1)111nnnxnn，只要1n即可，所以可取正整数1N.因此，0，1N，当nN时，总有1(1)1nnn，所以1(1)lim1nnnn.(2)对于任给的正数ε，当3n时，要使222222332211111nnnnnxnnnnnnnnn，只要2n即可，所以可取正整数2max,3N.因此，0，2max,3N，当nN时，总有22211nnn，所以222lim11nnnn.(3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313nnxnnnn，只要123n即可，所以可取正整数213N.因此，0，213N，当nN时，总有522()133nn，所以323125limnnn.习题2-21.利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限：(1)21limxx;(2)-limxxe；(3)+limxxe；(4)+limcotxarcx;(5)lim2x;(6)2-2lim(1)xx；(7)1lim(ln1)xx；(8)lim(cos1)xx解：(1)21lim0xx;(2)-lim0xxe；(3)+lim0xxe；(4)+limcot0xarcx;(5)lim22x;(6)2-2lim(1)5xx；(7)1lim(ln1)1xx；(8)lim(cos1)2xx2.函数fx在点x0处有定义，是当0xx时fx有极限的(D)(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件解：由函数极限的定义可知，研究fx当0xx的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时fx的变化趋势，而不关心fx在0xx处有无定义，大小如何。3.00fx与00fx都存在是函数fx在点x0处有极限的(A)(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件解：若函数fx在点x0处有极限则00fx与00fx一定都存在。4．设21;0,;0,xxfxxx作出fx的图像；求0limxfx与0limxfx；判别0limxfx是否存在?解：00limlim0xxfxx，200limlim(1)1xxfxx，故0limxfx不存在。5．设xfxx,xxx,当0x时，分别求fx与x的左、右极限，问0limxfx与0limxx是否存在?解：由题意可知1;0,1;0,xfxx，则00limlim11xxfx，00limlim11xxfx，因此0lim1xfx。由题意可知1;0,1;0,xxx，00limlim11xxx，00limlim(1)1xxx，因此0limxx不存在。*6.用极限的精确定义证明下列极限：(1)1lim11xxx;(2)2-11lim-2+1xxx；(3)01limsin0xxx.证：(1)0，要使122(1)1111xfxxxx，只要21x即可.所以，21X,当xX时，都有(1)fx，故1lim11xxx.(2)对于任给的正数ε，要使221212111xxxfxAxxx,只要1x.所以0，,当01x时，都有不等式21(2)1xx成立.故2-11lim-2+1xxx.(3)对于任给的正数ε，要使1sin0fxAxxx,只要x.所以0，,当0x时，都有不等式1sin0xx成立.故01limsin0xxx.习题2-31．下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大?(1)21xx;(2)lnx;(3)21xx．解：(1)因为22lim01xxx，故2x时21xx为无穷小，因为12lim1xxx，故1x时21xx为无穷大。(2)因为1limln0xx，故1x时lnx为无穷小，因为0limlnxx，limlnxx，故0x和x时lnx都为无穷大。(3)因为211lim0xxx，22111limlim()0xxxxxx，故1x和x时21xx为无穷小，因为201limxxx，故0x时21xx为无穷大。2．求下列函数的极限：(1)201limsinxxx;(2)tanlimxarcxx;(3)2coslimnnn.解：(1)因为,0(0,)x，1sin1x，且20lim0xx，故得201limsin0xxx.(2)因为,0(0,)x，arctan2x，且1lim0xx，故得tanlim0xarcxx.(3)因为2cos1n，且1lim0nn，故得2coslim0nnn.习题2-41.下列运算正确吗?为什么?(1)0000111limcoslimlimcos0limcos0xxxxxxxxx;(2)22111limlim1lim1xxxxxxx.解：(1)不正确，因为01limcosxx不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为1cos1x，且0lim0xx，故得01limcos0xxx.(2)不正确，因为1lim10xx，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。正确做法是：因为211lim0xxx，由无穷小与无穷大的关系可知21lim1xxx.2.求下列极限：(1)2030503123lim71xxxx；（2）1123lim23nnnnn；（3）330limhxhxh;(4)2112lim11xxx;(5)322lim2121xxxxx;（6）23arccotlim5xxxxxx;(7)1111393lim1111242nnn;(8)123lim22nnnn;(9))1(21lnlim21xxx.解：(1)2030203020305050501332312332limlim77117xxxxxxxx；（2）1112232()32333limlimlim32223()1133nnnnnnnnnnnnn；（3）33222200033limlimlim(33)3hhhxhxxhxhxxhxhh;(4)222111122111limlimlim11(1)(1)12xxxxxxxxxx;(5)3232222111limlimlim112121(21)(21)4(2)(2)xxxxxxxxxxxxxx;（6）23arccotlim5xxxxxx;因为arccotx，且223211limlim01551xxxxxxxxxx，所以23arccotlim05xxxxxx(7)111111()311111111()3339333limlimlim111114411()1()24222112nnnnnnnnn;(8)(1)12312limlimlim22222(2)2nnnnnnnnnnnn;(9)22111111limlnln[lim]ln[lim]ln102(1)2(1)2xxxxxxxx.3.已知0,1130,1)(32xxxxxxxf,求).(lim),(lim),(lim0xfxfxfxxx解：因为230031lim()lim11xxxxfxx，00lim()lim(1)1xxfxx，所以0lim()1xfx，2331lim()lim01xxxxfxx，lim()lim(1)xxfxx。习题2-51.求下列函数的极限：(1)22limsin2nnRn;(2)sinlimxxx;(3)0arctan3limsin2xxx;（4）0lim1cosxxx;(5)01cos4limsinxxxx;(6)21sin1lim1xxx.解：(1)2222sin2limsinlim22nnnnRRRnn;(2)sinsin()limlim1xxxxxx;(3)00arctan3arctan3233limlimsin23sin222xxxxxxxxxx;（4）00022limlimlim221cos2sin2sin22xxxxxxxxx;(5)222000sin281cos42sin2(2)limlimlim8sinsinsinxxxxxxxxxxxxx;(6)211sin1sin11limlim11(1)2xxxxxxx.2.求下列函数的极限:(1)-3lim1xxxx;(2)21lim21xxxx;(3)cot0lim12tanxxx;(4)3sec2lim1cosxxx.解：(1)-33-33111111limlimlim11lim1lim11xxxxxxxxxxxexxxxxx