2.1-正则参数曲线

微分几何储亚伟©Copyright第二章曲线论§2.1正则参数曲线储亚伟(一）、参数曲线1.参数曲线：2.曲线的参数方程：一、曲线的参数表示取定正交标架;,,,OijkC3:[,],pabE中的一条曲线是一个连续映3EC称为参数曲线.Cp几何上，参数曲线是映射的像.引例：从圆的方程到动点轨迹.则曲线上的点():(),Optrt()pt()()()()((),(),()),rtxtiytjztkxtytzt[,](1.1)tab其中为曲线的参数，(1.1)称为曲线的参数方程.tC储亚伟(二）、（向量）参数表示实例例1.开椭圆弧的参数表示：一、曲线的参数表示()(cos,sin,0),(0,2).rtatbtt例2.圆柱螺线的参数表示：()(cos,sin,),.rtatatbttR.其中是常数，0.a,ab例3.曲线()(cos,sin,0),(0,4)rtatatt与曲线()(cos2,sin2,0),(0,4)rtatatt同像不同长.储亚伟(一）、切线方程由定义可知二、正则曲线01()lim(),(),(),()()trtxtytztrttrtt(,).tab()rt导数的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.称为该曲线的切向量.切线方程为：如果()0,rt()()()Xurturt则是该曲线在处切线的方向向量，()rt()rt其中是固定的，是切线上点的参数，是切线上点的位置向量.tu()Xu储亚伟(二）、正则曲线二、正则曲线定义2.1.如果曲线的参数表示是阶连续可微的，()rtk则称是类曲线.kC的点称为的正则点，否则成为奇点.()0rt无奇点的类曲线称为正则(参数)曲线.3C将参数增大的方向称为曲线的正向.1.相关概念：3E上述定义与中直角坐标系的选取无关.注：正则()rt3(),|()|0.rtrtC储亚伟2.实例二、正则曲线例3.开椭圆弧是正则曲线，因()(cos,sin,0),(0,2)rtatbtt2222|()|sincos0.rtatbt例4.圆柱螺线是正则曲线，因()(cos,sin,),rtatatbttR22|()|0.rtab例5.半三次曲线不是正则曲线32()(,),rttttR2()(3,2),(0)0.rtttrxyO图2-3参数方程的连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念.储亚伟3.注记二、正则曲线()0,rt(1)()(,0,0).rtt注1.在一段曲线上则为常向量.反之，若在处()0,rt()rt0t则由的连续性，在附近，故奇点总是孤立的.()rt0t()0,rt注2.考察中轴的两种参数表示：3Rx3(2)()(,0,0).rtt显然(1)是正则表示，(2)不是.只要有一种参数表示是正则的曲线必为正则曲线.储亚伟三、容许的参数变换曲线的参数表示不是唯一的（如上例或圆周）.2.保定向的参数变换：可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系.等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线.约定.只允许做保持定向参数变换的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线.1.可容许的参数变换：3(),()()0.0tutttCuut：（保定向）储亚伟四、曲线的其他表示1.平面曲线的一般方程和隐式方程()yfx(,)0.Fxy2.空间曲线的一般方程（必正则）(),()yfxzgx(,,)0,(,,)0.FxyzGxyz和隐式方程这些方程可以化为参数方程.(习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)梯度矩阵秩为20()0.xt储亚伟习题2，4.课外作业：储亚伟微分几何慕课邀请码