上课用2.1.5《向量共线的条件和轴上向量坐标运算》

2.1.5向量共线的条件和轴上向量的坐标运算向量共线的条件与轴上向量坐标运算引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线的概念：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行。应注意，这里说的向量平行包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同abcd向量共线的条件由向量平行和向量数乘的定义可以推知：λ平行向量基本定理如果，则；反之，如果()，则存在一个实数，使bλaababobbλa为什么要求ob给定一个非零向量，与同方向且长度等于1的向量，叫做向量的单位向量。aaaa10a或如果向量的单位向量记作，由数乘向量定义可知0a0aaaaaa0a单位向量例题讲解（一）例1、已知试问向量与向量是否平行并求.2,3ebeaabba:解：由得，代入得因此，与平行且eb2be21ea3ba23ab23:ba定理的实质是向量相等，即存在唯一实数使，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助实数沟通了两个向量与的联系ab)(oabaCABMN证明：M、N分别是AB、AC边上的中点例题讲解（二）例1、如图所示，、是的中位线。求证：,且MBCMN21BCMNABCNACAMABAM21,21ABACAMANMN2121BCABAC21)(21BCMNBCMN21,提高练习已知两个非零向量和不共线，如果求证：三点共线1e2e,3221eeAB,23621eeBC.8421eeCDDBA,,ABeeeeeeeeeeCDBCABAD6)32(6181284236322121212121向量与向量共线，且有共同起点故三点共线。ADAB,ADBA,,解：轴上向量坐标运算轴的概念规定了方向和长度单位的直线叫做轴已知轴取单位向量,使的方向与同方向，根据平行的条件，对于轴上任意向量一定存在唯一数，使反过来，任意给定一个实数，我们总能作一个向量，使它的长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致。lelexexaxaxl轴和数轴的区别想一想le3-2CD在轴上的坐标是例如:AB=3e,CD=-2e.则AB在轴上的坐标是给定一向量能生成与它平行的所有向量的集合这里的向量叫做轴的基向量。叫做在上的坐标（或数量）eRxexelxal（其中）exa轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设于是，得如果则反之，如果，则,,21exbexa,ba21xx21xx,baexxba)(21OABCle设是轴上的一个基向量,显然，，与绝对值相同，符号相反，即eleABABeBABA0BAABBAABACBCABeACeBCeABeACeBCAB)(因为oe所以ACBCABOx设向量平行于轴，以原点为始点作则点的位置被向量所唯一确定，由平行向量基本定理知，存在唯一的实数使，数值是点的位置向量在轴上的坐标，也就是点在轴上的坐标。axaOPPaxexOPxPxPxPxa在数轴上，已知点的坐标为，点的坐标为x1xAB2x12xxAB即数轴上两点距离公式为12xxABoA1x302xBPxOBOAOBAOAB12xx于是得到例题讲解三例3、已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是4、-2、-6，求的坐标和长度。CABCAB,,O4-2-6l解：,64)2(AB66AB,4)2(6BC44BC,10)6(4CA1010CA例2.设a，b是两个不共线的向量，已知AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线。证明：∵BD=BC+CD=(2a+8b)+3(a-b)=5a+5b=5(a+b)=5AB∴BD//AB，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线变式引申已知非零向量和不共线，欲使和共线，是确定的值。1e2e21eek21ekek解：因为和共线21eek21eke)(2121ekeeek所以存在实数，使21)1()(ekek则由于与不共线，1e2e010kk1k只能有，则