七年级数学讲义(整式乘法)

1七年级数学讲义（第二讲整式的乘法）思维导图重难点分析重点分析：1.单项式乘单项式结果还是单项式，相乘时把系数和相同字母分别相乘，即转化为数的运算和同底数幂的运算.2.单项式乘多项式、多项式乘多项式，实际上是运用了乘法的分配律，转化为单项式的乘法，其结果还是多项式，所以幂的运算法则是单项式相乘的基础，而单项式相乘的法则是整式乘法运算的基础.难点分析：1.几个单项式相乘，积的符号由负因式的个数决定．2.单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，根据乘法分配律不要漏乘．3.对于整式的混合运算，其运算顺序与数的运算顺序相同，即先乘方开方，再乘除，最后算加减．例题精析例1、下列运算中正确的有．①6x2·3x=18x3；②2a(-3a2b)=-6a3b；③2x2·3x3·(-2xy)2=10x7y2；④2ab·6a·3a-2=b；⑤(-2m3n2)·(-m2)·m-3=2m2n2．思路点拨：根据单项式乘单项式的法则及幂的运算法则分别计算．解题过程：方法归纳：本题考查了单项式与单项式相乘以及幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．易错误区：注意不要出现以下错误：（1）对幂的运算法则理解不透，混淆运算法则导致计算错误；（2）积的符号不要弄错，当算式中有负数或负因式出现时，积的符号由负数或负因式的个数决定；（3）运算顺序不要弄错，应先算幂的乘方再相乘；（4）只在一个单项式里出现的因式或字母，要连同它的指数一起写在积里，不要把它漏掉．2例2、计算：（1）-5ab2·(-107a2bc-152ac2)；（2）(21ab-b2+43)·(-2a)2；（3）5x(x2-2x+4)-x2(5x-3)；（4）(2a2-b)(a-4b)-(a+3b)(a-4b).思路点拨：根据运算法则运算，对于多项式乘多项式或混合运算，先根据法则去括号，再合并同类项.解题过程：方法归纳：单项式与多项式、多项式与多项式相乘时，不要漏乘，混合运算注意符号.易错误区：加减乘除混合运算时，要注意积是一个整体，要加括号，然后根据去括号法则去括号后再合并同类项.例3、长方形的长、宽分别为acm，bcm，如果长方形的长和宽各增加2cm，那么：（1）新长方形面积比原长方形面积增加了多少平方厘米?(2)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值.思路点拨：（1）利用长方形的面积公式即可求解;(2)a,b的值是无法求出的，但是把ab-2a-2b看成一个整体，问题就迎刃而解了.解题过程：方法归纳：本题考查了多项式乘法的应用，读懂题意，运用多项式乘法的法则计算即可．易错误区：利用多项式的乘法求一些代数式的值时，往往会用到整体思想.例4、我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示.（1）请你写出图3所表示的一个等式：；（2）试画出一个图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）.图1图2图3思路点拨：（1）由题意得长方形的面积=长×宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法，即可得出等式；（2）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，即可画出图形.解题过程：方法归纳：本题考查了多项式的乘法的运用，是一道多项式的乘法与图形的面积相结合的创新题型.易错误区：图形中有正方形和长方形几种形状、大小不同的图形，每个图形的边长都有一定3的关系，要理清楚.探究提升例、已知（2x-3）（x2+mx+n）的展开项不含x2和x项，求m+n的值.思路点拨：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.本题可先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x2和x项，则含x2和x项的系数为0，由此可以列出关于m，n的方程组，解方程组即可以求出m，n，从而得到m+n的值.解题过程：方法归纳：本题考查了多项式相乘法则以及多项式的展开项的定义，应用的数学方法是待定系数法.待定系数法的一般步骤：（1）设出待定系数（题中的m和n）；（2）根据恒等条件列出关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数.本题注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，这是本题列出方程组的依据.易错误区：本题含有字母系数（待定系数），展开后找同类项是易错点，要注意2mx2与-3x2，2nx与-3mx是同类项可以合并.专项训练一、选择题1.计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是()A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b22.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为()A．a＋bB．－a－bC．a－bD．b－a3.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是()A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y34.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则()A．p＝qB．p＝±qC．p＝－qD．无法确定5.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是()A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定6.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是()A．2(a2＋2)B．2(a2－2)C．2a3D．2a67.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是()4A．x＝0B．x＝－4C．x＝5D．x＝408.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为()A．a＝2，b＝－2，c＝－1B．a＝2，b＝2，c＝－1C．a＝2，b＝1，c＝－2D．a＝2，b＝－1，c＝29.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于()A．36B．15C．19D．2110.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是()A．x6＋1B．x6＋2x3＋1C．x6－1D．x6－2x3＋1二、填空题1.(3x－1)(4x＋5)＝_________．2.(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________．3.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________．4.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________．5.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________．6.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．7.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________．8.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．9.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_____，b＝_______．10.如果三角形的底边为(3a＋2b)，高为(9a2－6ab＋4b2)，则面积＝__________．三、解答题1、计算下列各式(1)(2x＋3y)(3x－2y)(2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)(3)(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1)(4)(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)2、求(a＋b)2－(a－b)2－4ab的值，其中a＝2009，b＝2010．53、求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x2－52y)，其中x＝－1，y＝2．四、探究创新乐园1、若(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，求a，b．2、根据(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，直接计算下列题(1)(x－4)(x－9)(2)(xy－8a)(xy＋2a).五、数学生活实践一块长acm，宽bcm的玻璃，长、宽各裁掉1cm后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?六、思考题：请你来计算：若1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋…＋x2012的值．走进重高1.【贺州】下列运算中正确的是().A.(x2)3+(x3)2=2x6B.（x2）3·(x2)3=2x12C.x4·(2x)2=2x6D.(2x)3·(-x)2=-8x52.【台湾】若2x3-ax2-5x+5=（2x2+ax-1）（x-b）+3，其中a，b为整数，则a+b的值为().A.-4B.-2C.0D.463.【怀化】当x=1，y=51时，3x（2x+y）-2x（x-y）=.4.【兴化】已知a+b=2，ab=-7，则（a-2）（b-2）=.5.观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；……（1）根据以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=;（2）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=;（3）根据（2）求出1+2+22+…+234+235的结果．6.观察下列等式：12×231＝132×21;13×341＝143×31;23×352＝253×32;34×473＝374×43;62×286＝682×26;……以上每个等式中等号两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693×；(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并证明.7、知6x2-7xy-3y2+14x+y+a=（2x-3y+b）（3x+y+c），试确定a，b，c的值.