Ch22曲面积分65页PPT

数学分析(3)中南财经政法大学信息学院§1第一型曲面积分§2第二型曲面积分§3高斯(Gauss)公式与斯托克斯(Stokes)公式第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面的质量.由于定积分、重积分、第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属“黎曼积分”，因此具有相同实质的性质.一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算示小曲面块iS(,,)iiiiS的面积，为中任意一点，12{,,}nTSSS...,iS其中为曲面块的分割，表一、第一型曲面积分的概念类似第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块S，量为极限i||||01lim(,,),niiiTiS||||TTiS为分割的细度，即为诸中的最大直径.且密度函数在S上连续时，曲面块S的质(,,)xyziS(,,)(1,2,,),iiiin上任取一点若存在极限||||01lim(,,),niiiiTifSI定义在S上的函数.对曲面S作分割T,它把S分成n个小曲面块记小曲面块(1,2,,),iiSinS以iS1||||maxiinTS的直径，的面积,分割T的细度在定义1设S是空间中可求面积的曲面,为(,,)fxyz且与分割的取法无关,则称此极限为(,,)iiiT及上的第一型曲面积分,记作(,,)fxyzS在(,,)d.(1)SIfxyzS于是,前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:(,,)1fxyzdSS特别地,当时,曲面积分就是曲面块S的面积.(,,)d.SmxyzS二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.定理22.1设有光滑曲面:(,),(,),SzzxyxyD为S上的连续函数,则(,,)fxyz22(,,)d(,,(,))1dd.xySDfxyzSfxyzxyzzxy(2)(定理证明与曲线积分的定理20.1相仿,不再详述.)1d,SSzS其中例1计算2222xyza是球面被平面(0)zhha所截得的顶部(图22-1).xyhOza221图为定义域S222,zaxyD解曲面的方程为圆域2222.xyah由于222221,xyazzaxy222dddSDSaxyzaxy因此由公式(2)求得222202dahrarar2πln.aah222π2200ddaharrar22220πln()ahaar例2计算()d,SxyzxyzSS22zxy其中为圆锥面被圆柱面222xyax所割下的部分(图22-2).解对于圆锥面22,zxy有222图yxO22zxy222xyaxz2222,,xyxyzzxyxy()222()dd.xyDxyxyxyxy()dSIxyzxyzS2212;xyzz因此用二重积分的极坐标变换,Sxy222():().xyDxaya在平面上的投影为而π2cos32π022(sincossincos)ddatItttttrrπ442π242(sincossincos)cosdattttttπ454206482cos2.15atdta22()d,SJyzSS例3计算曲面积分其中是球面2222.xyza解(解法一)记2222222:,.Szaxyxya122222()d()dSSJyzSyzS根据计算公式(2),并使用极坐标变换,可得2222221:,;Szaxyxya2222π0022cos2ddaararrar22222222()2ddxyaaaxxyaxy2202222πdaararrar2224028πdπ.3aaaattaat22(,,),(,,),(,,).fxyzxgxyzyxyzS(解法二)令由于关于平面Sxy(,,)xyz对称,且在对称点与(,,)yxzS(,,)(,,),fxyzgyxz处有因此(,,)d(,,)d,SSfxyzSgxyzS22dd.SSxSyS即类似地,有22dd.SSxSzS由此得到222222()d()d3SSyzSxyzS224228d.333SaSaSa§2第二型曲面积分第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似,第二型曲面积分与曲面所取的方向有关,这就需要先定义“曲面的侧”.一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念三、第二型曲面积分的计算一、对坐标的曲面积分的概念与性质1.曲面的侧•曲面分类双侧曲面单侧曲面默比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(Möbius)带.它的构造方法如下:取一矩形长纸条ABCD(如图22-4(a)),将其一端扭转180后与另一端粘合在一起(即让A与C重合,B与D重合,如图22-4(b)所示).224图ABCD(a)ACBD0M(b)默比乌斯(Möbius,A.F.1790－1868,德国)通常由(,)zzxy所表示的曲面都是双侧曲面,其法线方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧.当S为封闭曲面时,法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.习惯上把上侧作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为正侧,内侧作为负侧.其方向用法向量指向表示方向余弦coscoscos0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,,)(yxSSyxS)(侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面,其面积元在xoy面上的投影记为的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(二．第二型曲面积分的概念引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.S分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:nv对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”ni10lim0limni1iiiiPcos),,(iiiiRcos),,(0limni1iiiiQcos),,(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设,则的投影区域的面积,它们的符号由iS的方向来确定:()()(),,iyzizxixySSSiS分别表示在三个坐标面上定义1设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.对S作分割T,它把S分为12,,,,nSSS分割T1||||max.iinTS的直径()0,,0,iixyiSSS;取上侧取下侧的细度为()||||01lim(,,)niiiiyzTiIPS()||||01lim(,,)niiiixyTiRS(,,),1,2,,.iiiiSin若()0,,0,iiyziSSS;取前侧取后侧()0,,0,.iizxiSSS取右侧取左侧()||||01lim(,,)niiiizxTiQSS在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分,记作的选取无关,则称此极限I为向量函数(,,)iii中的三个极限都存在,且与分割T和点的(,,)i+(,,)j+(,,)kFPxyzQxyzRxyz(,,)dd(,,)dd(,,)dd,SPxyzyzQxyzzxRxyzxyI(1)(,,)dd.SRxyzxyI(,,)dd(,,)ddSSPxyzyzQxyzzx或(,,)vPQRS据此定义,某流体以速度从曲面的负侧流向正侧的总流量即为(,,)dd(,,)dd(,,)dd.SPxyzyzQxyzzxRxyzxy又如,若空间中的磁场强度为(,,),(,,),(,,),EPxyzQxyzRxyz(,,)dd(,,)dd(,,)dd.SHPxyzyzQxyzzxRxyzxyS则按指定方向穿过曲面的磁通量(磁力线总数)为若以S表示曲面S的另一侧,由定义易知ddddddSPyzQzxRxydddddd.SPyzQzxRxy第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:1.若dddddd(1,2,,)iiiSPyzQzxRxyik存在,1dddddd,ikiiiiiScPyzQzxRxy111()dd()dd()ddkkkiiiiiiiiiScPyzcQzxcRxy则有其中(1,2,,).icik是常数2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面12,,,kSSS所组成,则有ddddddSPyzQzxRxy1dddddd.ikiSPyzQzxRxy三．第二型曲面积分的计算定理22.2设(,,)Rxyz是定义在光滑曲面():(,),(,).xySzzxyxyD上的连续函数,以S的上侧为正侧(这时S的法线方()(,,)dd(,,(,))dd.(2)xySDRxyzxyRxyzxyxyz向与轴正向成锐角),则有:(,),Sxxyz()(,)yzyzD()(,,)dd((,),,)dd.(3)yzSDPxyzyzPxyzyzyz这里S是取法线方向与x轴的正向成锐角的那一类似地,当在光滑曲面(,,)Pxyz上连续时,有():(,),(,)zxSyyzxzxD侧为正侧.当在光滑曲面(,,)Qxyz上连续时,有侧为正侧.这里S是取法线方向与y轴的正向成锐角的那一(,,)dd(,(,),)dd.(4)zxSDQxyzzxQxyzxzzxxyOz226图1S2Sdd,Sxyzxy例1计算2221xyz其中S是球面的外侧(图22-6).解曲面S在第一、五卦限部分的方程分别为22112222:1,:1.SzxySzxy0,0xy部分并取球面在它们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分.因积分是沿12SS的上侧和的下侧进行,故12ddddddSSSxyzxyxyzxyxyzxy()()22221dd1ddxyxyDDxyxyxyxyxyxy()2221ddxyDxyxyxyπ13220022dcossin1d=.15rrr其中22edd,ySzxxzS例2计算是由曲面221,2yxzyy与所围立体表面的外侧.解曲面123,SSSS其中221(,)1,1,Sxyxzy222(,)2,2,Sxyxzy221:1;Dxz其投影为223(,),12,Sxyyxzy112222eeddddySDzxzxxzxz2π1001edd2eπ.rrr2222222eeddddySDzxzxxzxz223:12.Dxz其投影为222:2;Dxz其投影为2π222001edd22eπ.rrr22332222eeddddyxzSDzxzxxzxz2π2201edd2(ee)π.rrrr222edd2(21)eπ.ySzxxz因此例3计算22()dddd()dd,SyxzyzxzxyxzxyS225,zxy1z其中为的部分,并取上侧.22():4;2,2.xyxyDxyzxzy22()dddd()ddSy