华北理工大学2016-2017学年概率论与数理统计重点复习点与公式

1概率统计公式第一章随机事件和概率1.排列组合公式)!(!nmmAnm从m个中挑出n个进行排列的可能数。)!(!!nmnmCnm从m个中挑出n个进行组合的可能数。2.事件的关系与运算德摩根率：BABA，BABA3.加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)4.减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)5.条件概率事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。6.乘法公式)/()()(ABPAPABP7.全概率公式)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。8.贝叶斯公式njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。9.伯努利概型knkknnqpkPC)(，nk,,2,1,0。)!(!!nmnmCnm2第二章随机变量及其分布1.离散型随机变量的分布律（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。2.连续型随机变量的分布密度1°0)(xf。2°1)(dxxf。3.分布函数分布函数具有如下性质：1°,1)(0xFx；2°)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；3°0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4°)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5°)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。4.八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布knkknnqpCkPkXP)()(),(~pnBX。泊松分布)(~PXekkXPk!)(，0，2,1,0k，超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p≥0，q=1-p。3均匀分布X~U(a，b),0,1)(abxf其他，xdxxfxF)()(当a≤x1x2≤b时，X落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。指数分布积分公式：!0ndxexxn正态分布),(~2NX222)(21)(xexf，x，如果X~),(2N，则X~)1,0(N。1221)(xxxXxP。dtexFxt222)(21)(0，xa，,abaxa≤x≤b1，xb。a≤x≤b)(xf,xe0x,0,0x,)(xF,1xe0x,,0x0。4第三章二维随机变量及其分布1.联合分布函数},{),(yYxXPyxF分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）;1),(0yxF（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即当x2x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即);0,(),(),,0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，，，，.2.边缘分布离散型),2,1,()(jipxXPPijjii；),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型；dyyxfxfX),()(.),()(dxyxfyfY3.条件分布离散型；iijijppxXyYP)|(,)|(jijjippyYxXP连续型)(),()|(yfyxfyxfY；)(),()|(xfyxfxyfX4.独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形55.二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221))((2)1(212yyxxeyxf其中1||,0,0,21,21是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（).,,,2221,21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（).(~),,22,2211NY但是若X～N（)(~),,22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。第四章随机变量的数字特征1.期望的性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。2.方差的性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)8=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。3.常见分布的期望和方差期望方差0-1分布),1(pBp)1(pp二项分布),(pnBnp)1(pnp泊松分布)(P几何分布)(pGp121pp6超几何分布),,(NMnHNnM11NnNNMNnM均匀分布),(baU2ba12)(2ab指数分布)(e121正态分布),(2N2分布2n2nt分布02nn(n2)4.协方差),cov(YX))]())(([(YEYXEXE)()()(YEXEXYE5.相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）0,D(Y)0，则称)()(YDXDXY||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：1)(baYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa而当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：①0XY；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).6.协方差的性质[1]cov(X,Y)=cov(Y,X);[2]cov(aX,bY)=abcov(X,Y);[3]cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);[4]cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).7.独立和不相关[1]若随机变量X与Y相互独立，则0XY；反之不真。[2]若（X，Y）～N（,,,,222121），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。78.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式22)(XP切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率)(XP的一种估计，它在理论上有重要意义。第五章样本及抽样分布1.数理统计的基本概念常见统计量及其性质样本均值.11niixnx样本方差niixxnS122.)(11样本k阶原点矩nikikkxnM1.,2,1,1样本k阶中心矩nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。2.正态总体下的四大分布正态分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(~/Nnxudef8t分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(~/ntnsxtdef其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。分布2设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(~)1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度为n-1的2分布。F分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,,,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(~//2122222121nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS)1,1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的F分布。3.正态总体下分布的性质X与2S独立。9第六章参数估计1.点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数m,,,21，则其分布函数可以表成).,,,;(21mxF它的k阶原点矩),,2,1)((mkXEvkk中也包含了未知参数m,,,21，即),,,(21mkkvv。又设nxxx,,,21为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为nikixn11).,,2,1(mk这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),,,(,1),,,(,1),,,(由上面的m个方程中，解出的m个未知参数),,,(21m即为参数（m,,,21）的矩估计量。若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)ˆ(g为)(g的矩估计。贝叶斯估计自己看书→_→2.估计量的评选标准无偏性设),,,(21nxxx为未知参数的估计量。若E（）=，则称为的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性设),,,,(2111nxxx和),,,,(2122nxxx是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。103.区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,,,,21出发，找出两个统计量),,,,(2111nxxx与),,,,(2122nxxx)(21，使得区间],[21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,1}{21P那么称区间],[21为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设nxxx,,,,21为总体),(~2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间],[21。具体步骤如下：[1]选择样本函数；[2]由置信度1，查表找分位数；[3]导出置信区间],[21。已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(~/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/0nxP（iii）导出置信区间nxnx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(~/ntnSxt(ii)查表找分位数.1/