复变函数讲稿第一章节

-1-序言1.研究对象复数变量之间的依赖关系——复变函数、主要是解析函数的运算和性质。2.研究方法利用分析和几何的方法研究解析函数。3.理论的建立与展开参照高等数学，尤其前几章基本是高等数学理论的平行推广。复数与复变函数§1复数及其运算一、复数的概念及代数表示1.定义设yx,为实数，形如yix的数称为复数，记为yixz——复数的代数表示。其中zxRe称为复数z的实部；zyIm称为复数z的虚部；1i称为虚单位。如显然有：1,,1432iiii等。全体复数构成复数域，记为C。注：复数代数式中的“+”非运算符号，有时yixz还记为yxz,。特别地，当0Imz时，称z为虚数，如ii3,43等（注意习惯说法，如2）；当0Imz时，称xz为实数，如3,3等；当0Rez时，称yiz为纯虚数，如ii5,4等。2.基本关系⑴复数相等：设111iyxz，222iyxz，则212121,yyxxzz。特别地，00111yxz。⑵复数无大小之分：-2-比如0i，若0i，则应有012iii，矛盾；若0i，则同样应有012iii，矛盾。二、代数运算与共轭复数1.代数运算设111iyxz，222iyxz，则⑴21zz21212211yyixxiyxiyx；⑵21zz122121212211yxyxiyyxxiyxiyx——多项式乘法；⑶iyxyxyxyxyyxxzz222221122222212121——分母实数化。容易证明：上述和、差、积、商运算满足交换、结合、分配律等。为实数运算的推广。2.共轭复数称实部相同，虚部符号相反的数yix为yixz的共轭复数，记为z。同时,zz构成度量复数间关系的基本单位。由定义容易证明，共轭复数有性质：⑴反身性：zz；⑵2121zzzz，2121zzzz，2121zzzz；⑶22ImRezzzz；⑷zizzzzzIm2,Re2。仅证明⑶，-3-虚轴yiyz=x+yir(x,y)实轴xOxyixz222222ImRe)(zzyxyixyixyixzz。例1设iziz23,221，求21Rezz。解iiizz432623221，8Re21zz。例2设iiiz1213，求zzzz,Im,Re。解iiiiiiiiiiz2125112311121113，2132125;21Im;25Re22zzzz。例3设iiyix13531，求yx,。解由题设关系式知，iiiiyx8235131，11,183,21yxyx。三、复数的几何意义1.复平面⑴复数z平面点z：yxyxyixz,,平面上点有序实数对对一对一一对一：由复数的全体实部和虚部实数构成的平面称为复平面，如图：⑵复数z向量z：yxzyx,,向量平面点对一对一，如图：其大小：zzyxrz22称为复数z的模；-4-NPzySx其方向：zArg称为复数z的幅角，显然，zzxyReImtan。注：10.当0z时，0z，幅角不确定、无意义或无幅角。20.对0z，幅角ZkkzArg2有无穷多。规定位于],(间的幅角为zArg的主值，记为zarg，即zarg。确定zarg的方法如下：在负实轴上，在二、三象限，在正、负虚轴，在一、四象限，zzzzzxyxy,,arctan,,arctanarg2例4设32182iiiz，求zArgz,。解iiiiiiiz12125424，211z；又1tan，且z在第四象限，4argz，从而，,2,1,024kkzArg。2.复球面取一个切复平面于原点的球面（如右图），切点S称为南极；过S点作平面的垂线交球面于N，称为北极。连任一点z与N点的线段交球面于P点。则有下列性质或结论：⑴Pz一对一，但除北极N外。一定程度可用球面上的点P表示平面上的点z。注意到，当NP时，对应的点z将远离原点S，即z，从而规定：复平面上有唯一“无穷远-5-点”N极复数中有唯一“无穷大数”上的“无穷远点”，记为。此时，复数一对一z球面点，称此球面为复球面。并将含点的复平面称为扩充复平面，记为C，即CC；而不含点的复平面称为有限复平面或复平面。⑵复数唯一：，幅角不确定、无意义。对zz,。⑶运算：对zzzzz,0;,，对zzz,0。但是，,0,无意义。四、基本问题（复变量与实变量表达式之间的转换）1.已知图形，求方程对实表达式yxf,，利用代换izzyzzx2,2化为复表达式zzF,。例5化11122yx为复数式。解原方程为：012222yxyx，zzyx22，izzyzzx2,2，代入上式，得0111011zizizzzzizzzz即为所求。注：圆周的一般复方程：0zzzz。2.已知方程，求图形对复表达式zzF,，利用代换yixz化为实表达式yxf,。例6指出方程42argiz表示什么曲线，并图示。-6-解令42arg,iyxyixz，从而，14tan2042arctanxyxxy，于是，02xyx即为所求半直线；如右图：例7指出不等式1Rezz表示的区域。解1Re,||2222xyxxzyxz，即xy212，从而，Ryxxyyx,,21,2即为所求。