2020届番禺区高三年级摸底测试理科数学试题

第1页共5页2020届番禺区高三年级摸底测试理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}{}2,60,ln(1)URAxxxBxyx==−−==−，则()UAB＝()A.[1，3)B.(1，3]C.(1，3)D.(－2，1]2．设()()()2i3i35ixy+−=++（i为虚数单位），其中x，y是实数，则ixy+等于（）A．5B．13C．22D．23.函数xxxfcos)(=的部分图象大致为()4.要得到函数2sin3yx=−的图象，只需将函数sin3cos3yxx=+的图象（）A.向右平移34π个单位长度B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向左平移2π个单位长度5．等比数列{}na的前n项和为nS，公比为q，若639SS=，562S=，则1a=（）A．2B．2C．5D．3第2页共5页6.射线测厚技术原理公式为0tIIeρµ−=，其中0II，分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，µ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为().(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001)A.0.110B.0.112C.0.114D.0.1167．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a，a∥α，a∥β.B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β.C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.8.设函数()fx的导函数为'()fx，且()3'(2)2lnfxxfx=−，则曲线()yfx=在点(4，f(4))处切线的倾斜角为()A.6πB.4πC.34πD.56π9.已知函数()sin23cos2fxaxx=−的图象关于直线12xπ=−对称，若12()()4fxfx⋅=−，则12xx−的最小值为()A.3πB.23πC.4πD.2π10．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A．B．C．D．11．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（）A．B．C．38D．1215141312F2:2Cyx=NxFNCM2FMMN=FN=5812第3页共5页12.已知正方体1111ABCDABCD−，过对角线1BD作平面α交棱1AA于点E，交棱1CC于点F，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形1BFDE一定是平行四边形；③平面α与平面1DBB不可能垂直；④四边形1BFDE的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为().A.①④B.②③C.①②④D.①②③④二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13．的展开式中项的系数是14.已知实数xy，满足260xyxyxy≥≤+−≤，，，则2zxy=+取得最大值的最优解为.15．设数列的前项和为，且，，则数列的前项的和是16．已知函数，，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是________．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．(本小题满分12分)在中，角，，的对边分別为、、，若，，．（1）求；（2）已知点在边上，且平分，求的面积．8(12)2yx+−22xy{}nannS11a=2(1)()nnSannn=+−∈*N1{}3nSn+10()212lnfxxxee=≤≤()1gxmx=+()fx()gx1y=mABC∆ABCabc3cos4A=2BA=3b=aMBCAMBAC∠ABM∆第4页共5页18.(本小题满分12分)如图，已知三棱柱111ABCABC−中，平面11AACC⊥平面ABC，1AAAC=，ACBC⊥.(1)证明：1AC⊥1AB；(2)设2ACCB=，160AAC∠=，求二面角11CABB−−的余弦值.19．（本小题满分12分）已知长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3=BPPA，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点(0,1)H的直线2yxt=+与曲线C相交于两点,MN.若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值.20．（本小题满分12分）某大型医疗检查机器生产商，对于一次性购买2台机器的优质客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ACBB1C1A1第5页共5页21.(本小题满分12分)已知函数()()0afxaxax=−（1）若()lnfxx≥在[1,)+∞上恒成立，求a的取值范围．（2）证明：()()()*11ln11,21nknnnnNkn=++≥∈+∑22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意，恒有，求实数的取值范围．xOyC222813(1)1kxkkyk=+−=+kOxlcos()324πρθ+=ClCl()212fxxxa=−+−x∈R4a=()9fxx∈R()5fxa≥−a第1页共6页2020届番禺区高三年级摸底测试理科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案AADCBCDBDDAC二、填空题：13：42014：(4，2)15：51116：三、解答题：17.(本小题满分12分)（1）由，，得，所以．……………………3分由正弦定理，可得．……………………5分（2），在中，由余弦定理，得，解得或（舍去），……………………8分因为，……………………10分，所以．……12分322,3ee−−0Aπ3cos4A=7sin4A=sinsin22sincosBAAA==73372448=⋅⋅=sinsinabAB=sin2sinbAaB==2231coscos22cos12()148BAA==−=×−=ABC∆2222cosbacacB=+−22100cc−−=52c=2c=−36552ACMABMCMACSSBMAB∆∆====1157sin216ABCSbcA∆==5515775711116176ABMABCSS∆∆==×=第2页共6页18.(本小题满分12分)(1)连结1AC.∵1AAAC=，四边形11AACC为菱形，∴11ACAC⊥.…………1分∵平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面ABCAC=，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面11AACC.又∵11//BCBC，∴11BC⊥平面11AACC，∴111BCAC⊥.………………3分∵1111ACBCC=，∴1AC⊥平面11ABC………………4分而1AB⊂平面11ABC，∴1AC⊥1AB.………………5分(2)取11AC的中点为M，连结CM.∵1AAAC=，四边形11AACC为菱形，160AAC∠=，∴11CMAC⊥，CMAC⊥.又∵CMBC⊥，以C为原点，CACBCM，，为正方向建立空间直角坐标系………………6分如图.设1CB=，22ACCB==，1AAAC=，160AAC∠=，∴C(0，0，0)，1A(1，0，3)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，1B(-1，1，3).……………………7分由(1)知，平面11CAB的一个法向量为()1103CA=，，.………………8分设平面1ABB的法向量为()nxyz=，，，则1nABnAB⊥⊥，，∴100nABnAB⋅=⋅=.∵()210AB=−，，，()1313AB=−，，，∴20330xyxyz−+=−++=.令1x=，得123yz==，，即1123n=，，.…………………………………………10分∴11123cos41623CAnCAnCAn⋅===⋅×，，……………………11分∴二面角11CABB−−的余弦值为34−.……………………………12分19.(本小题满分12分)解：（1）设(,)Pxy，(,0)Am，(0,)Bn.∵3=BPPA，∴(,)3(,)−=−−xynmxy(33,3)=−−mxy，即333=−−=−xmxyny.∴434==mxny.…2分又4=AB，∴2216+=mn.从而221616169+=xy.…………4分∴曲线C的方程为2219+=xy.…………5分第3页共6页（2）设1122(,),(,).MxyNxy联立22219=++=yxtxy，消去y，得2237369(1)0++−=xtxt.由22(36)4379(1)0∆=−××−tt，可得3737−t.212123699,3737−∴+=−=ttxxxx.……7分又直线2=+yxt不经过点(0,1)H，且直线HM与HN的斜率存在，∴1≠±t.…………8分1212121212114(1)()−−−−++=+=HMHNyyxxtxxkkxxxx,………10分1212124(1)()4411−−+∴=−=+xxtxxtxxt.解得3t=.∴t的值为3.………12分20．（本小题满分12分）解：（1）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.………1分（注：全部写对可得1分）()11101010100PX==×=，()1111210525PX==××=，()11213225551025PX==×+××=，()13121132210105550PX==××+××=，()22317425510525PX==×+××=，()2365251025PX==××=，()33961010100PX==×=，………4分（注：写对任意2个可得1分，全对得3分）∴X的分布列为X0123456P110012532511507256259100………5分（2）选择延保方案一，所需费用1Y元的分布列为：1Y70009000110001300015000P1710011507256259100…………7