第二章 导数与微分 厦大高数习题课

第二章导数与微分习题1．设fx对任意x均满足1fxafx，且0fb，其中ab为非0非1的常数，则D。（A）fx在1x处不可导；（B）fx在1x处可导，且1fa；（C）fx在1x处可导，且1fb；（D）fx在1x处可导，且1fab。2．函数xxxxxf32)2()(不可导点的个数（B）。A．3个B．2个C．1个D．0个解：由0xx在0xx处不可导,但)(00xxxx在0xx处一阶可导.可知xxxxxxf11)1)(2()(在0x和1x处不可导.3.设)(xf在1x处连续，且313)(lim1xxxfxx.证明:)(xf在1x处可导,并求)1(f.证明:由313)(lim1xxxfxx,0)3)((lim1xxxxf11(1)lim()lim(3)2xxxffxx311lim12)(lim13)(lim111xxxxfxxxfxxxxx11lim311lim312)(lim)1(ln111xexxxxffxxxxxx111lnln[1(1)]3lim3lim11(1)3lim41xxxxxxxxxxxx即4)1(f.4．已知23exfxx在1x处16ef，fx有反函数x。求3e。解：因13ef，所以，3e1，113e16ef。5.设)(xf为单调可导函数，其反函数为)(xg，且已知2)1(f，31)1(f，1)1(f，求)2(g。解:)()()(1)(1lim)()(lim)(0000000xfxfxfxfyyygygygxxyy30000000)()()()(1)()()()(lim0xfxfxfxfxxxxxfxfxfxfxx令：2,100yx，则)2(g23333311)1()1(ff.6.设)1(),376ln(2nxxy,求)(ny。解:2ln(673)ln(31)(23)ln31ln23yxxxxxx()()()ln31ln23nnnyxx11(1)!(1)!3(1)2(1)3123nnnnnnnnxx132(1)(1)![]3123nnnnnnxx7．设fx有任意阶导数且2()fxfx，则nfx1!()(1)nnfxn。8．设fu可导，函数yyx由22yxxyfxy所确定，则22221122222lnddln2yxyxxyfxyyxyxyyxyxxxyxyfxy。9．设4211xyfx，lnfxx，求ddyx。解：令4211xux，则22d42d1uxxxx，所以4222ddd142ddd11yyuxxfxxuxxx422214ln211xxxxx4222211ln11xxxx。10．设yfx由方程2ecose1xyxy所确定，则曲线yfx在0,1处的法线方程为220xy。11．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速度为1cm/s，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？解：设漏斗在时刻t的水深为h（cm），筒中的水深为H（cm），则漏斗中水面半径满足618rh，即13rh。设盛满溶液时漏斗的体积为201π6183V，则有2201ππ53VrhHt,即3201ππ527VhHt上式两边对t求导，得2d1d25d9dHhhtt。代入d1cm/sdht，12cmh，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为22d121410.64cm/sd9255Ht。h(t)（5n6rnH(t)