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高二数学(理)试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。)1.i是虚数单位,复数212ii=()A.iB.iC.1iD.12i2、下列值等于1的是()A.10xdxB.10)1(dxxC.101dxD.1021dx3、若函数42()fxaxbxc满足'(1)2f,则'(1)f()A.1B.2C.2D.04.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是A.假设三内角都不大于60度;B.假设三内角至多有一个大于60度;C.假设三内角都大于60度;D.假设三内角至多有两个大于60度。5、某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每为朋友一本,则不同的赠送方法共有()A4种B10种C18种D20种6、已知空间四边形OABC,其对角线为,OBAC,,MN分别是边,OACB的中点,点G在线段MN上,且使2MGGN,用向量,,OAOBOC表示向量OG是()A111633OGOAOBOCB.112633OGOAOBOCC.2233OGOAOBOCD.122233OGOAOBOC7、已知131...2111)(nnnnf,则)1(kf等于()A.1)1k(31)(kfB.231)(kkfC.11431331231)(kkkkkfD.11431)(kkkf8、若62)(xax展开式的常数项为60,则常数a的值为()A2B4C21D419、曲线ln(21)yx上的点到直线230xy的最短距离是()A.35B.25C.5D.010.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为()A、-1a2B、-3a6C、a-1或a2D、a-3或a611.函数323922yxxxx有()A.极大值5,极小值-27;B.极大值5,极小值-11;C.极大值5,无极小值;D.极小值-27,无极大值12.设'()fx是函数()fx的导数,'()yfx的图像如图所示,则()yfx的图像最有可能的是()A0错误!未找到引用源错误!未找到引用源。12错误!未找到引用源错误!未找到引用源。B012错误!未错误!未找到引C012错误!未找错误!未找到引用D01221错误!未找到引用错误!未找到引用源。0错误!未找到引用源。高二数学(理)试题(第二巻)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置。)13.曲线3cos(0)2yxx与坐标轴围成的面积是314.曲线32yxx在点P0处的切线平行于直线y=4x,则点P0的坐标是(1,0)15.设i为虚数单位,则234201iiiii=1.16.已知xxflg)(,函数)(xf定义域中任意的)(,2121xxxx,有如下结论:①0(3)(3)(2)(2)ffff;②0(3)(2)(3)(2)ffff;③;0)()(2121xxxfxf④.2)()()2(2121xfxfxxf上述结论中正确结论的序号是__①③_.三、解答题:(本题共6小题,共70分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤。)17.(本小题满分10分)已知z、为复数,zi)31(为实数,=,||52,2zi且求.解:设=x+yi(x,y∈R),2()22zzixyiii依题意得(1+3i)(2+i)=(-1+7i)为实数,且||=52,∴227050xyxy,解之得17xy或17xy,∴=1+7i或=-1-7i。18.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值.(1)求a、b的值;(2)当2c时,求函数()fx在区间[03],上的最大值.①解:2()663fxxaxb,因为函数()fx在1x及2x取得极值,则有(1)0f,(2)0f.即6630241230abab,.解得3a,4b.②由(1)可知,32()29128fxxxxc,2()618126(1)(2)fxxxxx.当(01)x,时,()0fx;当(12)x,时,()0fx;当(23)x,时,()0fx.所以,当1x时,()fx取得极大值(1)58fc,又(0)8fc,(3)98fc.则当03x,时,()fx的最大值为(3)987fc.19.(本小题满分12分)某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡活动,若厂家A、B对两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元,农民购买电视机获得的补贴分别为101p、52lnq万元,已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元,且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出最大值(精确到0.1,参考数据:ln41.4).解:设B型号电视机的投放金额为万元(19)x,A型号的电视机的投放金额为(10)x万元,农民得到的补贴为y万元,则由题意得GFEDCBA1101ln52ln5210101xxxxy10152xy,令'0y得4x当[1,4)x时,'0y;当(4,9]x,时,'0y所以当4x时,y取得最大值,max2ln40.411.25y故厂家投放A、B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元,农民得到的补贴最多,最多补贴约1.2万元。20.(12分)*11111123421211111232nnnNSnnTnnnn当时,(1)求1212,,,SSTT(2)猜想nnST与的关系,并用数学归纳法证明。解:(1)111122S,21117123412S111112T,2117212212T(2)猜想:*()nnSTnN即:1111111111.2342121232nnnnnn(n∈N*)下面用数学归纳法证明①n=1时,已证S1=T1②假设n=k时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*),即:1111111111.2342121232kkkkkk则111212(1)kkSSkk11212(1)kTkk1111111232212(1)kkkkkk11111232112(1)kkkkk11111(1)1(1)22212(1)kkkkk1kT由①,②可知,对任意n∈N*,Sn=Tn都成立.21.(本小题满分12分)如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角CABF是直二面角,AFa,G是EF的中点,(1)求GB与平面AGC所成角的正弦值.(2)求二面角B—AC—G的余弦值.解析:如图,以A为原点建立直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0).(由题意可得)0,,(aaAG,)2,2,0(aaAC,)0,,(aaBG,)2,0,0(aBC,设平面AGC的法向量为)1,,(111yxn,由0011nACnAG0220111aayayax1111yx)1,1,1(1n||||||sin11nBGnBG322aa36(2)因)1,,(111yxn是平面AGC的法向量,又AF⊥平面ABCD,平面ABCD的法向量)0,0,(aAF,得|||||||cos|11AFnAFn333aa,22.(本小题满分12分)已知函数213()4ln(1)(2)22fxxxmxm,(m为常数)(1)当4m=时,求函数的单调区间;(2)若函数()yfx=有两个极值点,求实数m的取值范围.解:依题意,函数的定义域为(1,+∞).(Ⅰ)当m=4时,215()4ln(1)622fxxxx.()fx=461xx=x2-7x+10x-1=(x-2)(x-5)x-1.令()0fx,解得5,x或2x.令()0fx,解得25x.可知函数f(x)的单调递增区间为(1,2)和(5,+∞),单调递减区间为2,5.(Ⅱ)()fx=4x-1+x-(m+2)=x2-(m+3)x+m+6x-1.若函数y=f(x)有两个极值点,则2(3)4(6)0;1(3)60;31.2mmmmm,解得m>3.
本文标题:高中数学竞赛试题及答案(理)
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