高中数学竞赛试题及答案(理)

高二数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1．i是虚数单位，复数212ii=（）A．iB．iC．1iD．12i2、下列值等于1的是()A.10xdxB.10)1(dxxC.101dxD.1021dx3、若函数42()fxaxbxc满足'(1)2f,则'(1)f()A.1B.2C.2D.04．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是A．假设三内角都不大于60度；B．假设三内角至多有一个大于60度；C．假设三内角都大于60度；D．假设三内角至多有两个大于60度。5、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每为朋友一本，则不同的赠送方法共有（）A4种B10种C18种D20种6、已知空间四边形OABC，其对角线为,OBAC，,MN分别是边,OACB的中点，点G在线段MN上，且使2MGGN，用向量,,OAOBOC表示向量OG是（）A111633OGOAOBOCB．112633OGOAOBOCC．2233OGOAOBOCD．122233OGOAOBOC7、已知131...2111)(nnnnf,则)1(kf等于()A.1)1k(31)(kfB.231)(kkfC.11431331231)(kkkkkfD.11431)(kkkf8、若62)(xax展开式的常数项为60，则常数a的值为（）A2B4C21D419、曲线ln(21)yx上的点到直线230xy的最短距离是（）A．35B．25C．5D．010．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A、－1a2B、－3a6C、a－1或a2D、a－3或a611．函数323922yxxxx有（）A．极大值5，极小值－27；B．极大值5，极小值－11；C．极大值5，无极小值；D．极小值－27，无极大值12．设'()fx是函数()fx的导数，'()yfx的图像如图所示，则()yfx的图像最有可能的是（）A0错误!未找到引用源错误!未找到引用源。12错误!未找到引用源错误!未找到引用源。B012错误!未错误!未找到引C012错误!未找错误!未找到引用D01221错误!未找到引用错误!未找到引用源。0错误!未找到引用源。高二数学（理）试题（第二巻）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。）13.曲线3cos(0)2yxx与坐标轴围成的面积是314.曲线32yxx在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是(1,0)15．设i为虚数单位，则234201iiiii=1.16．已知xxflg)(，函数)(xf定义域中任意的)(,2121xxxx，有如下结论：①0(3)(3)(2)(2)ffff；②0(3)(2)(3)(2)ffff；③;0)()(2121xxxfxf④.2)()()2(2121xfxfxxf上述结论中正确结论的序号是__①③_.三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）已知z、为复数，zi)31(为实数，=,||52,2zi且求．解：设＝x+yi(x，y∈R)，2()22zzixyiii依题意得(1+3i)(2+i)＝(－1+7i)为实数，且||＝52，∴227050xyxy，解之得17xy或17xy，∴＝1+7i或＝－1－7i。18.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（1）求a、b的值；（2）当2c时，求函数()fx在区间[03]，上的最大值．①解：2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．解得3a，4b．②由（1）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx．当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx．所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当03x，时，()fx的最大值为(3)987fc．19．（本小题满分12分）某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A、B对两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为101p、52lnq万元，已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：ln41.4)．解：设B型号电视机的投放金额为万元(19)x，A型号的电视机的投放金额为(10)x万元，农民得到的补贴为y万元，则由题意得GFEDCBA1101ln52ln5210101xxxxy10152xy,令'0y得4x当[1,4)x时，'0y；当(4,9]x，时，'0y所以当4x时，y取得最大值，max2ln40.411.25y故厂家投放A、B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元。20．（12分）*11111123421211111232nnnNSnnTnnnn当时,（1）求1212,,,SSTT（2）猜想nnST与的关系，并用数学归纳法证明。解：（1）111122S，21117123412S111112T，2117212212T（2）猜想：*()nnSTnN即：1111111111.2342121232nnnnnn（n∈N*）下面用数学归纳法证明①n=1时，已证S1=T1②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：1111111111.2342121232kkkkkk则111212(1)kkSSkk11212(1)kTkk1111111232212(1)kkkkkk11111232112(1)kkkkk11111(1)1(1)22212(1)kkkkk1kT由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.21.（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，AFa，G是EF的中点，（1）求GB与平面AGC所成角的正弦值.（2）求二面角B—AC—G的余弦值.解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）．（由题意可得)0,,(aaAG，)2,2,0(aaAC，)0,,(aaBG，)2,0,0(aBC，设平面AGC的法向量为)1,,(111yxn，由0011nACnAG0220111aayayax1111yx)1,1,1(1n||||||sin11nBGnBG322aa36（2）因)1,,(111yxn是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量)0,0,(aAF，得|||||||cos|11AFnAFn333aa，22.（本小题满分12分）已知函数213()4ln(1)(2)22fxxxmxm,（m为常数）（1）当4m=时，求函数的单调区间；（2）若函数()yfx=有两个极值点，求实数m的取值范围.解：依题意，函数的定义域为（1，＋∞）.（Ⅰ）当m＝4时，215()4ln(1)622fxxxx.()fx＝461xx=x2－7x＋10x－1＝（x－2）(x－5)x－1.令()0fx，解得5,x或2x.令()0fx，解得25x.可知函数f(x)的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为2,5．（Ⅱ）()fx＝4x－1＋x－(m＋2)＝x2－(m＋3)x＋m＋6x－1.若函数y＝f(x)有两个极值点,则2(3)4(6)0;1(3)60;31.2mmmmm，解得m＞3.