2015-2017三年高考分析极坐标与参数方程

1坐标系与参数方程一．考纲（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程二、坐标系与参数方程命题分析解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。三、考点（一）方程互化问题互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：sincosyx或)0(tan222xxyyx（θ的象限由点(x,y)所在的象限确定）名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.1、极坐标方程与直角坐标方程的互化考题1（直角坐标方程化为极坐标方程）（2016全国卷2）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25xy．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；答案：（Ⅰ）212cos110考点：圆的极坐标方程与普通方程互化命题意图：重点考查了转化与化归能力2试题解析：（I）由cos,sinxy可得C的极坐标方程212cos110.总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.强化训练1.（2015新课标1，23）在直角坐标系xOy中。直线1C:2x，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；解：（Ⅰ）因为cos,sinxy，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40考题2（极坐标方程化为直角坐标方程）（2015新课标2，23）在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossinxtyt（t为参数，t≠0），其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。（1）求C2与C3交点的直角坐标；答案：(0,0)和33(,)22考点：直角坐标及极坐标方程的互化试题解析：（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220xyy，曲线3C的直角坐标方程为22230xyx.联立222220,230xyyxyx解得0,0,xy或3,23.2xy所以2C与3C交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22总结提升：1.运用互化公式：222,sin,cosxyyx将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，3可转化直角坐标系的情境进行．3.若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.强化训练1．（2016全国卷3，23）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224.（I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；答案：1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40xy.2、参数方程普通方程的互化考题1（参数方程化为普通方程）（2017课标3，22）在直角坐标系xOy中，直线1l的参数方程为2+,,xtykt（t为参数），直线2l的参数方程为2,,xmmmyk（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−2=0，M为l3与C的交点，求M的极径.答案：（1）224(0)xyy；（2）5试题解析：（1）直线1l的普通方程为(2)ykx，直线2l的普通方程为2xky，消去k得224xy，00ky即C的普通方程为224(0)xyy.（2）3l化为直角坐标方程为2xy，联立2224xyxy得32222xy，∴222182544xy，∴3l与C的交点M的极径为5.4考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程总结升华：（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。消参过程要注意谁是参数以及等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x,y的范围，在这过程中，实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。（2）利用222cos,sin,xyxy将极坐标方程化直角坐标方程强化训练1.（2017课标1，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）．（1）若1a，求C与l的交点坐标；答案：（1）(3,0)，2124(,)2525试题解析：（1）曲线C的普通方程为2219xy．当1a时，直线l的普通方程为430xy．由2243019xyxy解得30xy或21252425xy．从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525．2.（2016高考新课标23）在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为cos1sinxatyat（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4cos.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．答案：（I）圆,222sin10a（II）1试题解析：⑴cos1sinxatyat（t均为参数）,∴2221xya①∴1C为以01，为圆心,a为半径的圆．方程为222210xyya5∵222sinxyy，,∴222sin10a即为1C的极坐标方程⑵24cosC：,两边同乘得22224coscosxyx，224xyx,即2224xy②3C：化为普通方程为2yx,由题意：1C和2C的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210xya,即为3C∴210a,∴1a考题2（普通方程化为参数方程化）已知曲线C：22149xy，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）故直线l的普通方程为2x+y-6=0名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化（二）弦长问题考题1.1（2016江苏21）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11232xtyt（t为参数），椭圆C的参数方程为cos,2sinxy（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解：椭圆C的普通方程为2214yx，将直线l的参数方程11232xtyt，代入2214yx，得223()12(1)124tt，即27160tt，解得10t，2167t.61216||7ABtt.考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.直线与圆相交的弦长问题总结升华：1、“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.2、计算直线与圆锥曲线相交得到的弦长，一般考虑三种方法：（1）将直线与圆锥曲线联立方程组，得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式计算。其中，k为直线的斜率，x1、x2为方程的两根；(这个方法的前提的直线的斜率必须存在)（2）利用直线的参数方程来解；（3）转化为极坐标方程来计算，极坐标方程中ρ的几何意义就表示距离。变式训练1（2015新课标2，23）在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数,且0t）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:23cos.CC（I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.答案：（I）330,0,,22；（II）4.试题解析：解：（I）曲线2C的直角坐标方程为2220xyy,曲线3C的直角坐标方程为22230xyx,联立两方程解得00xy或3232xy,所以2C与3C交点的直角坐标330,0,,22.2122122124)(11xxxxkxxkAB7（II）曲线1C极坐标方程为,0,R其中0,因此点A的极坐标为2sin,,点B的极坐标为23cos,,所以2sin23cos4sin3AB,当56时AB取得最大值,最大值为4.2.（2016全国卷2）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25xy．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数）,l与C交于,AB两点，||10AB，求l的斜率．答案：（Ⅰ）212cos110；（Ⅱ）153.试题解析：（I）由cos,sinxy可得C的极坐标方程212cos110.（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为()R由,AB所对应的极径分别为12,,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110.于是121212cos,11,22121212||||()4144cos44,AB由||10AB得2315cos,tan83，所以l的斜率为153或153.（三）距离问题考题2[2016高考新课标3，23]在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224．8（I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（II）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.答案：（Ⅰ）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40xy；（Ⅱ）31(,)22．