湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何

湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为A．83(1)3π+B．43(2)π+C．43(2)3π+D．83(1)π+2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（C）A.316B.318C.48164D.3131483、（怀化市2019届高三统一模拟（二））某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为A.4B.8C.43D.834、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.485、（邵阳市2019届高三10月大联考）已知三棱锥PABC底面的3个顶点,,ABC在球O的同一个大圆上，且ABC△为正三角形，P为该球面上的点，若三棱锥PABC体积的最大值为23，则球O的表面积为()A.12B.16C.32D.646、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）已知E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点，6AB，6PC，33EF，则异面直线AB与PC所成的角为（）A.120B.45C.30D.607、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）如图，—个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图、侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为28，则x=A.3B.4C.5D.69、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）①平面平面；②直线平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④三棱锥的体积不变.A.①②B.①②④C.③④D.①④10、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））个几何体的三视图如右图所示，已知这个几何体的体积为310，则h为A.23B.3C.33D.3511、（长郡中学2019届高三第六次月考）在三棱锥P—ABC中，PA丄平面ABC，∠BAC=32，AP=3，AB=32,Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为3，则三棱锥P—ABC的外接球的表面积为A.45B.57C.63D.8412、（雅礼中学2019届高三第五次月考）如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，M为CC1的中点．若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（）A．32+25B．4+42C．22+25D．6214、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.3215、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是A．B．C．D．6416、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P－ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．参考答案：1、C2、C3、D4、B5、B6、D7、A8、B9、B10、B11、12、C13、A14、【解析】如图，设AC∩BD＝O，连接OE，因为OE是△SAC的中位线，故EO∥SA，则∠BEO为BE与SA所成的角．设SA＝AB＝2a，则OE＝12SA＝a，BE＝32SA＝3a，OB＝22SA＝2a，所以△EOB为直角三角形，所以cos∠BEO＝OEBE＝a3a＝33，故选C.15、A16、【解析】依题意，记三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VP－ABC＝13S△ABCh＝13×34×42×h＝163得h＝433.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于12h＝233.又正△ABC的外接圆半径为r＝AB2sin60°＝433，因此R2＝r2＋2332＝203，所以三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4πR2＝80π3.二、解答题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，在直三棱柱111CBAABC中，21111CABA，321CC，120BAC，O为线段11CB的中点，P为线段1CC上一动点（异于点1CC、），Q为线段BC上一动点，且OPQP；（Ⅰ）求证：平面1APQ^平面1AOP；（Ⅱ）若PQBO//，求直线OP与平面PQA1所成角的正弦值.2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求二面角C－BE－D的余弦值的大小.3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））如图，在四棱锥P-ABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，AB//CD，AB=2AD=2CD=4，PC=4.(1)证明：当点E在PB上运动时，始终有平面EAC平面PBC(2)求锐二而角A-PB-C的余弦值.4、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD,且PA=2AB，F是AB的中点，点E在线段PC上，且PE＝PC31.（1）证明：平面DEF丄平面ABCD;（2）求二面角B-AE-D的余弦值.5、（邵阳市2019届高三10月大联考）如图，菱形ABCD的边长为4，60DAB∠°，矩形BDFE的面积为8，且平面BDFE平面ABCD.(1)证明：ACBE；(2)求二面角EAFD的正弦值.6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，90CDABAD，222ABADDCE，F分别为PD，PB的中点.（1）求证：//CF平面PAD；（2）若截面CEF与底面ABCD所成锐二面角为4，求PA的长度.7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）五面体ABCDEF中，ADEF是等腰梯形,AD=2,AB=2,AF=FE=ED=BC=1，∠SAD=900，平面BAF丄平面ADEF。（1）证明:AB丄平面ADEF；（2）求二面角B-AF-C的余弦值.9、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，，.（1）求证：直线平面；（2）点在线段上，且，求二面角的余弦值.10、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC，∠BAC=90°,点D，E,F分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.(I)求证：MN//平面BDE；(II)求二面角C-EM-N的正弦值；11、（长郡中学2019届高三第六次月考）如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB//CD，AB=2DC=32，AC∩BD=F，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD的重心.(1)求证:GF//平面PDC.(2)求平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值.12、（雅礼中学2019届高三第五次月考）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，底面为正方形，边长AB＝2，侧棱BB1＝4，过点B作B1C的垂线交侧校CC1于点E，交BC于点F。（1）求证A1C上平面BDE；（2）求锐二面角E—BD－A1的余弦值13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））如图（1），等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，22AD=，E、F分别是CD的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P．如图（2），（Ⅰ）求证：平面PEF平面ABEF；（Ⅱ）求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．14、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为θ()θ≤90°，试求cosθ的取值范围．15、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）如图，在多面体中，四边形为梯形，，均为等边三角形，，．（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：1、解：（I）证明：因为21111CABA，O为线段11CB的中点，所以111CBOA,............1分在直三棱柱111CBAABC中，易知1111CBACC平面，11CCOA，而1111CCBCC；111CCBBOA平面，OAQP1；............3分又因为OPQP，OOPDO；所以OPAQP1平面，............4分又QPAQP1平面；所以OPAPQA11平面平面；............5分（II）由（I）可建立如图空间直角坐标系xyzO，因为120BAC所以311OCOB，则11(0,0,0),(0,3,0),(0,3,0)OCB-,1(0,3,23),(1,0,0)BA--,设(0,3,),(0,,23)PaQb，............7分所以(0,3,23),(0,3,23)QPbaOB=--=-uuuruuur，因为OPQP，PQBO//，所以QPOBOPQP//,0,(3)3(23)023(3)3(23)baabaìï-?-=ï\íï-=--ïî，解得：43,23ba（P异于点1CC,）............8分1333333(1,3,),(0,,),(0,3,)2422APQPOP\==-=uuuruuuruuur设平面QPA1的法向量为(,,)nxyz=r，则100nAPnQPìï?ïïíï?ïïîruuurruuur即02334330233zyzyx，可取(53,4,2)n=-r，............10分设直线OP与平面QPA1所成角为，则433219sin1915954nOPθnOP×+===×ruuurruuur............11分直线OP与平面QPA1所成角的正弦值为19192..............12分（也可利用几何方法解答，找线面角并证明得3分，求值得3分）2、解设AD＝DE＝2AB＝2a，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，3a，0)，E(a，3a，2a).∵F为CD的中点，∴F32a，3a2，0.(1)证明AF→＝32a，32a，0，BE