19.1.1变量与函数(第1、2课时)

世界是不断变化发展的，生活中也充满着许许多多变化的量，而这些变化的量之间往往存在着这样或那样的关系，请看——汽车行驶的路程随行驶的时间而变化气温随海拔而变化行星在宇宙中的位置随时间而变化圆的面积随着圆的半径而变化为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本知识，其中包括如何用式子和图、表来描述、刻画这种变化的内容．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，填下面的表:请说明你的道理路程=速度×时间试用含的t式子表示sS=60t60120180240300问题一问题二每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？早场票房收入=10×150=1500（元）日场票房收入=10×205=2050（元）晚场票房收入=10×310=3100（元）若设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？y=10x请说明道理：票房收入=售价×售票张数在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果弹簧长原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度L(单位：cm)?挂重2千克时弹簧长=10+0.5×2=11(cm)挂重3千克时弹簧长=10+0.5×3=11.5(cm)挂重x千克时弹簧长=10+0.5×x(cm)L=10+0.5x分析：挂重1千克时弹簧长=10+0.5×1=10.5(cm)问题三问题四要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?半径=10圆的面积=兀×半径的平方圆的面积为20的圆,圆的半径应取多少?圆的半径=20若圆的面积为s,半径r应取多少?r=s圆的半径10cm2?10cm220cm2?rs问题五用10m长的绳子围成长方形，长方形的长为3m时面积为多少？当长方形的长为3时，面积=3×（10－2×3）÷2=6各组讨论：改变长方形的长，观察长方形的面积怎样变化？设长方形的边长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示s？2210xxs剖析S=60ty=10xL=10+0.5xr=s2S=x(10-2x)1变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。请指出上面各个变化过程中的常量、变量。八年级数学第十二章函数探究：指出下列关系式中的变量与常量：(1)y=5x－6(2)y=x6(3)y=4X2＋5x－7(4)S=Лr2解：（1）5和-6是常量，x和y是变量。（2）6是常量，x、y是变量。（3）4、5、-7是常量，x、y是变量。（4）兀是常量，s、r是变量。•填空：•1、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数•n（个）与单价a（元）的关系式为。•其中的变量是，常量是。•2、某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是1元，•则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是。其中的变量是。常是。n=50/an、a50y=4ny、n4巩固练习快速抢答八年级数学第十二章函数x图12、如图2正方体的棱长为a,表面积S=，体积V=.其中变量和常量分别是什么？a图2C=4x6a2a31、如图1正方形的周长与边长为x的关系式为变量是:常量是:;c、v4……小结1、用一个变量表示另一个变量。2、变量、常量的概念。每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的对应值.S=60tt/时12345S/千米60120180240300t/时12345…s/千米问题探讨:问题1：汽车离开A站5千米以后，以40千米/时的平均速度行驶了t小时,汽车离开A站所走的路程为s千米,请先填写下表:所以,s=________.观察填出的表格,会发现:每当行驶时间t取定一个值,汽车离开A站所走的路程s就________________.4585125165205…5+40t随之确定一个值问题2：李老师用100元购买7元/件的某种商品，观察他剩余的钱y(元)与购买这种商品的数量x(x≤14)之间的关系:当x=5时,y=____；当x=12时,y=____.从中可以看出：每当李老师购买这种商品数量x(x≤14)取定一个值时，他剩余的钱y(元)就_________________.问题3:每张电影票的售价为10元,当早场售出票x=150(张)时,票房收入y=____(元);150020503100我们发现,每当售票数量x取定一个值时,票房收入y就___________________.随之确定一个值则:y=_____.10x当日场售出票x=205(张)时,票房收入y=______(元);当晚场售出票x=310(张)时,票房收入y=(元).问题4:用60cm长的绳子围成长方形,观察长方形的面积S(cm2)与一边长(cm)关系:(填表)(cm)1234…S(cm2)lll)30(llS295681104…看出：每当边长取定一个值时,面积S就___________________.随之确定一个值则思考归纳:请同学们分组讨论。1.前面我们研究的每个问题中都有几个变量？2.同一个问题中的两个变量之间有什么联系？两个变量每个问题中的两个变量互相联系，其中一个变量取定一个值时,另一个变量就随之确定一个值.即：一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化.函数:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.理解：1.函数谈的是变量间的关系。2.对于x的每一个确定的值，y都有唯一被确定的值与其对应，y才是x的函数.自变量、函数、函数值：指出前面四个问题中的自变量与函数.1.“票房收入问题”中y=10x，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，所以是自变量，y是x的函数.2.“行程问题”中s=60t，对于t的每一个值，s都有的值与之对应，所以是自变量，是的函数.3.“气温变化问题”，对于时间t的每一个值，气温T都有的值与之对应，所以是自变量，是的函数.归纳：如果有两个变量，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，称x是，y是x的．唯一x唯一tsttTt唯一自变量函数唯一•思考题：填表并回答问题：（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答：。（2）y是x的函数吗？为什么？2和－28和－818和－1832和－32不是答：不是，因为y的值不是唯一的。x14916y=+2x练一练:下列问题中的变量y是不是x的函数？是（1）y=2x（2）y+2x=3是（3）y=不是xy（6）是xy（7）不是x（4）y=x2（5）y2=x（8）y=±x+5（9）y=x2+3z是是不是不是(x≥0)交流讨论:能否找到生活中的实例,使两变量成函数关系?这些例子中的函数关系都能用函数解析式表示吗?下图是体检时的心电图,其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?心电图是医学检查中用仪器记录心脏跳动状况的曲线，其中每个点的横、纵坐标是有单值对应关系的两个变量.即:对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的对应值.观察1观察2在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?对于表中每一个确定的年份x,人口数y都有唯一确定的值与其对应.图17.1.1练一练(1)下图是黄陂某日温度变化图,横坐标t表示时间，纵坐标T表示温度，它们是两个变量。8时,10时,14时的温度分别为多少?思考：对于图中每一个确定的时间t,都对应着一个确定的温度T吗?温度T是时间t的函数吗？试一试变量y与x的关系如图，y是x的函数吗？是是不是不是例如y=2x，变量y是变量x的函数.当x=1时，函数y的函数值等于2二、如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.例1下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？并写出用自变量表示函数的式子.（1）多边形的内角和α随边数n的变化而变化；解：（1）α=（n－2）180°例1下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？并写出用自变量表示函数的式子.（2）计划花500元购买篮球，所能购买篮球的总数n（个）随单价a（元）的变化而变化.解：500(2)na例2下列式子中的y是x的函数吗？如果是，请分别求出在x=6时对应的函数值.1(1)53;(2);(3)3;21xyxyyxx3、写出下列关系式(1)每个同学购一本单价3元的练习册，写出总金额y(元)与学生数n(个)之间的关系式；(2)已知水池的容量200，每小时的注水量为a，注满水池所需时间为t小时，写出a与t之间的关系式．2003ynat3cm3cm4、出租车收费按路程计算，3千米(含3千米)以内收费8元，超过3千米时，每1千米加收1.80元，写出车费y(元)与路程x(千米)之间的关系式．8(03)1.80(3)8(3)yxyxx一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。（1）写出表示y与x的函数关系的式子。（2）指出自变量x的取值范围（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？解:(1)函数关系式为:y=50－0.1x(2)由x≥0及50－0.1x≥0得0≤x≤500∴自变量的取值范围是:0≤x≤500(3)当x=200时,函数y的值为:y=50－0.1×200=30因此,当汽车行驶200km时,油箱中还有油30L要考虑实际意义哦！三、小结1.知识常量、变量、自变量、函数、函数值的概念2.方法（1）区分常量与变量（2）区分自变量与函数（3）区分函数与函数值（4）判断两个变量之间是否存在函数关系3.变量与常量:在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终保持不变的量叫常量.4.变量和常量在不同的变化过程中是可以相互转化的.5.在同一个变化过程中的两个变量之间，它们是互相制约、互相联系的，其中一个量是随另一个量的变化而变化的.6．了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；