函数与极限测试题及标准答案(二)

1/9函数与极限测试题（二）一.选择题1.设F()x是连续函数()fx的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有().（A）F()x是偶函数()fx)是奇函数.（B）F()x是奇函数()fx是偶函数.（C）F()x是周期函数()fx是周期函数.（D）F()x是单调函数()fx是单调函数2．设函数,11)(1xxexf则()（A）0x，1x都是()fx的第一类间断点.（B）0x，1x都是()fx的第二类间断点（C）0x是()fx的第一类间断点，1x是()fx的第二类间断点.（D）0x是()fx的第二类间断点，1x是()fx的第一类间断点.3．设1xfxx，01x、，，则1[]()ffx()A）1xB）x11C）X1D）x4．下列各式正确的是()A）0lim11(1+)xxxB）0lim1(1+)xxexC）lim1(1)xxexD）lim1(1)xxex5．已知9)(limxxaxax，则a()。A.1；B.；C.3ln；D.3ln2。6．极限：xxxx)11(lim()A.1；B.；C.2e；D.2e。7．极限：xlim332xx=（）A.1；B.；C.0；D.2．2/98．极限：xxx11lim0=（）A.0；B.；C21；D.2．9.极限：)(lim2xxxx=（）A.0；B.；C.2；D.21．10．极限:xxxx2sinsintanlim30=（）A.0；B.；C.161；D.16．二.填空题11．极限12sinlim2xxxx=；12.0arctanlimxxx=；13.若)(xfy在点0x连续，则)]()([limxfxfxx=；14.0sin5limxxx；15.nnn)21(lim；16.若函数23122xxxy，则它的间断点是17.绝对值函数,0;()0,0;,0.xxfxxxxxx其定义域是，值域是。18.符号函数1,0;0,0;()sgn1,0.xxfxxx其定义域是，值域是三个点的集合。19无穷小量是。20.函数()yfx在点0x连续，要求函数()yfx满足的三个条件是。三.计算题21.求).111(lim0xexxx；22.设1()32,xfex求()fx(其中0x)；23.求522(3)limxxxx；24.求1()1limxxxx；25.求220sinlimtan2(3)xxxxx；26.已知9)(limxxaxax，求a的值；3/927.计算极限nnnn1)321(lim；28.求2lg521xfxxx它的定义域。29.判断下列函数是否为同一函数：⑴22()sincosfxxx=＋与 g1x=；⑵11)(2xxxf与1)(xxg；⑶21)(xxf与1)(xxg；⑷21xxf与1)(xxg；⑸2yax与2sat。30.已知函数2()1fxx，求1(())32fxffxff、、；31.求746153lim22nnnnn；32.求221limnnn；33.求)1(limnnn；34.求nnnnn3232lim。35.判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴2,2,1xxxxy，2x；⑵0,310,sinxxxxy，0x。36.求31lim3xx；37.求93lim23xxx；38.求xxx11lim0；39.求当x→∞时，下列函数的极限112323xxxxy。40.求当x时，函数11232xxxxy的极限。41.求xxx3sinlim0；42.求20cos1limxxx；43.求311limnnn；44.求nnn211lim；45.求xxkx)11(lim；46.求xxx11lim；47.求xxkx101lim。4/948.研究函数0,10,sin)(xxxxxf在点00x=处的连续性。49.指出函数11)(xxf在点x=1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。50.指出函数0,00,1)(xxxxf在点0x=处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。51.指出函数0,10,)(2xxxxf在点0x=处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。52.求xxx)1ln(lim0；53.求xxxxln11lim21；54.试证方程3223230xxx－＋－＝在区间[1，2]至少有一根。55.求xxxx2sinsintanlim30。56.试证正弦函数sinyx在区间(-∞，+∞)内连续。57.函数00xxfxxxx，，ll；在点0x处是否连续？58.函数1sin0()00xxxfxx，，；是否在点0x连续？59.求极限xaxx1lim0.函数与极限测试题答案（二）一.选择题1.A【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而5/9xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.【评注】函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考与其原函数的有界性之间有何关系?2.D【分析】显然0x，1x为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数在0x，1x点处无定义，因此是间断点.且)(lim0xfx，所以0x为第二类间断点；0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以1x为第一类间断点，故应选(D).【评注】应特别注意：1lim1xxx，.1lim1xxx从而11limxxxe，.0lim11xxxe3-8CACCAC8.∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式=21111lim)11()11)(11(lim00xxxxxxx.（有理化法）9-10DC10.解：原式161821lim)2()cos1(tanlim32030xxxxxxxx.注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式0)2(lim30xxxx.二.填空题11.2；12.1；13.0；14.5；15.2e；16.12x、；17.),(),0[；18.),(}1,0,1{；19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量20.①函数=yfx在点0x处有定义；②0 xx时极限0lim()xxfx存在；③极限值与函数值相等，即00lim()()xxfxfx。三.计算题21.【分析】型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.【详解】)1(1lim)111(lim200xxxxxexexxxex=2201limxexxxx6/9=xexxx221lim0=.2322lim0xxe22.3ln1,0fxxx；23.3e；24.2e；25.61；26.3ln；27.328.解：由20x＋解得2x；由x－10解得1x；由520x解得2.5x；所以函数的定义域为2.521xxx｛｜且｝或表示为2,11,2.5。29.⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30.解：221112fxxxx；222421112ffxfxxxx＝＝＝；2323121099ffff＝＝＝。31.解：222222n22746153lim746153lim746153limnnnnnnnnnnnnnnnn210060031lim71lim46lim1lim1lim53lim22nnnnnnnnnn；32.解：212lim2)1(lim21lim2222nnnnnnnnnnn；33.解：nnnnnnnnnn1)1)(1(lim)1(lim；01lim1lim1lim111lim11limnnnnnnnnnnnnn34.解：110101lim)32(lim1lim)32(lim1)32(1)32(lim3232limnnnnnnnnnnnnnn35.解：⑴因为3lim,2lim22yyxx，yyxx22limlim；所以函数在指定点的7/9极限不存在。⑵因为0031lim,00sinlim00yyxx，yyxx00limlim；所以函数在指定点的极限0lim0yx。36.3333lim1111lim3limlim3336xxxxxx；37.23333311limlimlim93336xxxxxxxxx；38.21111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim0000xxxxxxxxxxxxxx；39.323323111112lim112limxxxxxxxxxx20010021lim1lim1lim1lim1lim2lim323xxxxxxxxxx40.323232111112lim112limxxxxxxxxxxx00010001lim1lim1lim1lim1lim1lim23232xxxxxxxxxxx41.3333sinlim3sinlim00xxxxxx42.2122sinlim21)2(42sin2limcos1lim2022020xxxxxxxxx43.原式=eennnnn1)11(lim)11(lim344.原式22211lim11limennnnnn45.原式kkkxxkkxxekxkx11111lim11lim8/946.原式11111lim11limexxxxxx47.原式kkkxxekx101lim48.解000sinlim()lim1()(0)1xxxxfxfxfx而0lim()(0)0xfxfx函数在处连续。49.间断，函