行列式的性质及应用

题目…………………………………………………………………………1摘要…………………………………………………………………………1正文…………………………………………………………………………1一.问题的提出……………………………………………………………1二.排列……………………………………………………………………1三.行列式…………………………………………………………………1四.n阶行列式具有的性质………………………………………………2五.行列式的计算…………………………………………………………3(一)数字型行列式的计算………………………………………………3(二)行列式的概念与性质的例题………………………………………6(三)抽象行列式的计算…………………………………………………6(四)含参数行列式的计算………………………………………………7(五)关于0A的证明……………………………………………………7(六)特殊行列式的解法…………………………………………………8(七)拉普拉斯定理………………………………………………………9参考文献……………………………………………………………………10致谢…………………………………………………………………………11外文页………………………………………………………………………12行列式的性质及计算王峰摘要在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的重点是计算,应当在理解n阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式,也会计算简单的n阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行(列)展开公式,通过降阶来实现。但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形,以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式,从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有，三角化法，递推法，数学归纳法，公式法。关键词三角化法递推法数学归纳法公式法一.问题的提出在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如①11112212112222axaxbaxaxb②11112211121222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。二.排列定义1由1.2……n组成的一个有序数组称为一个n级排列。n级排列的总数为(1)(2)21!nnnn（n的阶乘个）。定义2在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例1决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性134782695解逆序数为10，是偶排列。三．行列式：定义（设为n阶）：n阶行列式是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由n项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()njjj表示排列12njjj的1212121112121222()1212(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaAaaaaaa逆序数。四．n阶行列式具有的性质1．性质（1）行列互换，行列式不变。即111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa。2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即111211212niiinnnnnaaakakakaaaa=k111211212niiinnnnnaaaaaaaaa特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即11121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa。4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。5．性质（5）如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。即11121111211212121212120nniiiniiiniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaakkakakaaaaaaaaaa。6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。即111211112111121112212121212121212121112112nnnikikinkniiinkkknkkknkkknkkknnnnnnnnnnnnnniiiaaaaaaaaaacaacaacaaaacacacaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1212nkkknnnnnaaaaaa7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即111211112111121121122112212121212121211121nnniiinikikinknikikinknkkknkkkniiinnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11121121212121212nkkknkkkniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa五.行列式的计算(一)数字型行列式的计算(四种方法)1.三角化法例2计算行列式1122331111111bbbDbbb之值。解从第1行开始,依次把每行加至下一行,得1112222333331111111111111111bbbbbbDbbbbbb例3计算行列式xaaaaxaaDaaxaaaax之值。解把每行均加至第一行,提出公因式1xna,再把第一行的a倍分别加到第二行至第n行,得111111111(1)(1)(1)()nnaxaaxaDxnaxnaxnaxaaaxaxaaaaxxa2．递推法例4计算行列式5111111111aaaaDaaaaa之值。解把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式5145411(1)111111aaaDDaaaaaaa继续使用这个递推公式，有443DDa332DDa而初始值221Daa，所以234551Daaaaa例5计算行列式1231111nnnaaxaxDaxax之值。解按第n行展开，有1111(1)(1)nnnnnnnDxDaxDa，从而递推地得到212121(1)(1)nnnnnnnDxDaxDa，232nnnDxDa212Daxa对这些等式分别用1，x,2x,,2nx相乘，然后相加，得到1231231nnnnnnDaxaxaxaxa3．数学归纳法例6证明①111111111111111111110000kkkrkkkrkkkrrrrrkrrraaaabbaaccbbaabbccbb。解我们对k用数学归纳法。当1k时，①的左端为11111111100rrrrracbbcbb按第一行展开，就得到所要的结论。假设①对1km，即左端行列式的左上角是1m级时已经成立，现在来看km的情形，按第一行展开，有1111222121111111121111211100000000mmmmmmmmmrmrrrmrrrrrmrrraaaaaaaaaccbbccbbccbbccbb++212,12,121,1,111111,11,111111,1,110000(1)iimmmimimmiiiimrrririrmrrraaaaaaaaaccccbbccccbb212,11,111111,11111,110000(1)mmmmmmmrrrmrrraaaaaccbbccbb222212,12,12111121,1,1212,1111111111111,1111(1)(1)miimiimmmmmimimmmrmrmmmmmrrrmmmrrraaaaaaaaaaaaaaaabbaabbaaabbaabb这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一个是根据按一行展开的公式。根据归纳法原理，①式普遍成立。4．公式法例7计算行列式abcdbadcAcdabdcba之值。解由于2222()TAAabcdE,故用行列式乘法公式，得222224()TTAAAAAabcd因A中，4a系数是+1，所以22222()Aabcd。（二）行列式的概念与性质的例题例8已知2331645615ijaaaaaa是6阶行列式中的一项，试确定,ij的值及此项所带的符号。解根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标2,3,,6,5,1i应取自1至6的排列，故4i，同理可知2j。直接计算行的逆序数与列的逆序数，有(2,3,4,6,5,1)(3,1,2,4,6,5)639。亦知此项应带负号。（三）抽象行列式的计算例9已知123,,,,都是4维列向量，且123,,,a，321,,,b，则1232,,,（）。解321,,,中第1列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变行，就有321321321,,,,,,,,,321123321123,,,,,,,,,,,,,于是1232,,,2()ab。例10若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1111,,,,2345则行列式1BE（）。解由A～B，知B的特征值是1111,,,2345。那么1B的特征值是2，3，4，5.于是1BE的特征值是1，2，3，4。有公式得，124BE。（四）含参数行列式的计算例11已知3111510113xDxx，求x。解将第3行的-1倍加至第1行，有2202101100151(2)151(2)15211311311452(2)(2)(918)14xxDxxxxxxxxxxxxxx所以2,3,6xxx。（五）关于0A的证明解题思路：①设证法AA；②反证法：如0A从A可逆找矛盾；③构造齐次方程组0Ax，设法证明它有非零解；④设法证矩阵的秩()rAn；⑤证明0是矩阵A的一个特征值。例12设2,AAAE(单位矩阵)，证明：0A。证法一：如0A，则A可逆，那么121AAAAAE.与已知条件AE矛盾。证法二：由2AA，有()0AAE,从而AE的每一列都是齐次方程组0Ax的解，又因AE，故0Ax有非零解，从而0A。证法三：证同上，由于AE的每一列(1,2,,)iin都是0Ax的解，所以12()(,,,)()nrAErnrA，又因AE，()0rAE，故()()rAnrAEn，所以0A。证法四：证同上，设i是AE中非零列，则00iiA,则，0是A的特征值，故0A。(六)特殊行列式的解法1范德蒙行列式定义：行列式123222212312311231111nnnnnnnaaaadaaaaaaaa称为n级的范德蒙行列式。例13计算行列式112233222112233111(1)(1)(1)(1)(1)(1)Axxxxxxxx