一阶常系数线性差分方程

1第四节2一阶常系数线性差分方程标准形式为其中,2,1,0t，常数0a，函数)(tf当,2,1,0t时有定义.如果当,2,1,0t时有0)(tf，则称方程为一阶常系数齐次线性差分方程，否则，称为一阶常系数非齐次线性差分方程.)(1tfayytt(1)01ttayy(2)(2)称为(1)对应的齐次线性差分方程.3)(1tfayytt(1)01ttayy(2)不难证明，(2)的通解为,)(tctaCyC为任意常数.可以证明,一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即有定理(一阶常系数线性差分方程通解的结构)一阶常系数线性差分方程(1)的通解可表示为tttyaCy)(其中ty是(1)的一个特解,,2,1,0t，C是任意常数.4当f(x)是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和差或乘积时，一般可用待定系数法求(2)的一个特解.讨论三种情形：情形1)()(tPxfm情形2tmdtPxf)()(情形3tNtMtfsincos)(5例1求一阶常系数线性差分方程2321tyytt的通解.设特解BtAyt，解代入方程得ttyy21BAtA)(2)1(BtABtA23t,1,3BA得特解为,13tyt从而通解为,132tCyttC为任意常数.6设特解BtAyt，代入方程得ttyy1A)()1(BtABtA,23t例2求一阶常系数线性差分方程231tyytt的通解.解没有这样的特解。7例2求一阶常系数线性差分方程231tyytt的通解.解设特解)(BtAtyt代入方程得ttyy1,23t,2tBtA)()1()1(22tBtAtBtABAtA2,27,23BA得特解为,27232ttyt从而通解为C为任意常数.,27232ttCyt8一般,当)(tf是多项式)(tPm时，可按下表设定非齐次差分方程)(1tfayytt的一个特解ty：)(tf系数a的取值特解ty的形式)(tPm1a)(tQm)(tPm1a)(tQtm表中)(tQm是待定系数的m次多项式.9设特解ttBtAy2)(，代入方程得例3求一阶常系数线性差分方程ttttyy21的通解。解ttyy1tBtABAtA2)222(tBAtA2)2(,2tt,2,1BA得特解为,2)2(ttty从而通解为,2)2(tttCyC为任意常数.10设特解ttBtAy2)(，代入方程得ttyy1tBAtBAtA2)(2tA22,2tt不存在这样的特解。例4求一阶常系数线性差分方程ttttyy221的通解。解11设特解ttBtAty2)(，代入方程得例4求一阶常系数线性差分方程ttttyy221的通解。解ttyy1ttBtAtBtA2])1()1([222tt2tBAtA2)2(2,41,41BA得特解为,2)1(41tttty从而通解为,2)44(2ttttCyC为任意常数.12一般,当tmdtPtf)()(时，可按下表设定非齐次差分方程)(1tfayytt的一个特解ty：)(tfd与系数a的关系特解ty的形式tmdtP)(tmdtP)(表中)(tQm是待定系数的m次多项式.0datmdtQ)(0datmdtQt)(13设特解tBtAyt2sin2cos，代入方程得ttyy21例5求线性差分方程tyytt2cos521的通解。解tBtA2cos2sin)2sin2cos(2tBtAtBAtAB2sin)2(2cos)2(t2cos5,1,2BA得特解为,2sin2cos2ttyt通解为,2sin2cos22ttCyttC为任意常数。14一般,当tNtMtfsincos)(,其中,,NM是常数，且20,，可以设特解为tBtAyt2sin2cos其中BA,是两个待定常数.如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先把它化为标准形式才能应用上面给出的通解公式和选取特解的有关结论.15例6求差分方程051021tyytt的通解.设特解BtAyt，解代入方程得ttyy51BAAt66)(5)1(BAtBtAt25,725,125BA得特解为,725125tyt原方程通解为,725125)5(tCyttC为任意常数.首先把差分方程改写为标准形式tyytt2551.,15a16例7(1)现期某种产品的供应量tsQ,由前一期的价格1tP确定，)(1,ttsPSQ；供需平衡的市场模型基本假设：(2)现期该产品的销售量tdQ,由现行价格tP确定，即)(,ttdPDQ；(3)现期该产品的供需平衡，即tstdQQ,,.常见的供给函数S与需求函数D均为线性函数，于是得到方程组tstdttdttsQQPQPQ,,,1,)5()4()3(17解tstdttdttsQQPQPQ,,,1,)5()4()3(其中,,,都是正的常数，若已知初始价格0P，求现行价格tP，并研究其变化规律.把(3),(4)代入(5),即得一阶常系数非齐次线性差分方程1ttPP1ttPP),1,0(t求出方程的通解是ttCP18ttCP令P，称为平衡价格(或均衡价格).利用初始价格0P确定常数PPC0，可得现行价格tP的公式PPPPtt)(019PPPPtt))((0由此可得以下简单结论：(1)若初始价格0P等于平衡价格P，则现行价格tP将始终等于平衡价格；否则，若初始价格不等于平衡价格，则由于tP中包含因子tPP))((0,现行价格tP将始终围绕平衡价格上下波动；(2)若初始价格不等于平衡价格，且1，这时现行价格tP围绕平衡价格上下波动的振幅将随着t增大而逐渐减少，且PPttlim；20PPPPtt))((0(3)若初始价格不等于平衡价格，且1，这时现行价格tP交替取两个值0P和02PP，称为临界情形；(4)若初始价格不等于平衡价格，且1，这时现行价格tP围绕平衡价格上下波动的振幅将随着t增大而无限增大，从而产生价格的大波动.21练习：P394习题九22谢谢大家！