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问题提出随着现代大学办学教育水平的不断提升，越来越多的大学也开始注重学校的综合排名情况，各类机构也纷纷参与高校排名评估，那么如何科学合理的对各大高校进行评估日益成为人们重视的问题。由于大学排名涉及的因素较多，如果考虑因素过少，可能导致结果过于片面，反之，则会导致模型的建立太过复杂，因此我们需要考虑到这些因素之间的相关性以及不同因素对评估结果的影响程度的不同来确定需要考虑的评估因素，同时需要从多个方面，尽量运用多种方法来建立模型，最终给出综合评分，方案给出后，我们设想，通过对评比结果的分析，我们可以找出湖南师范大学与其他院校相比之下的优劣，进而向校领导提出合理的改进意见，体现模型的实际应用价值。解题思路：第一步：搜集全国108所师范院校的相关数据，分析文献资料,确定师范院校评估标准，并得出评估因子的数据。第二步：首先在各项指标对评估结果影响相同的条件下，运用等权分析法进行数据整合分析，然后进一步考虑其对评估结果影响不同性，从科学与合理性角度出发，采用层次分析法，构建层次分析框架图，列出判断矩阵，并进行层次单（总）排序，以此确定各项指标权重。最后对矩阵一致性进行判断，检验其是否合理。第三步：根据因子分析法构建对比评估模型从模型结果的客观性和精确性角度出发，引入了因子分析法，再次对评分体系进行完善和检验。并借助于SPSS软件，判断输入数据的因子载荷与共同度，并进行因子旋转，最终计算因子得分。进而得出各院校较为合理的综合得分及排名。第四步：对排名结果进行综合性指标分析，判断模型的可行性，以此给出模型评价及其应用价值，最后，利用所建模型，对湖南师范大学排名进行综合性分析，并提出合理化意见。解题步骤首先，对108所师范院校的各项指标进行查找，统计数据，对院校进行排名并输出前30名的排名结果，并根据师范院校的综合实力分数确定排名，下面对模型建立及求解进行详细介绍。对数据进行分析，根据权值处理方法的不同，采用主观权重加权法、层次分析法〔AnalyticHierarchyProcess，AHP〕和因子分析法分别确定权重，得到综合指标进行排序处理。下面对两种方法的权值进行分类讨论。方法一权重加权法分析可知,各所大学的综合得分可依据15个指标相应加权求和，从而得到师范院校的综合得分。设第个指标的权重为则通过加权求和得第i项综合得分为：其中1、等权重分析法•由归一法可得各项权重为。利用该权重计算得到的30所师范院校的综合指标值。我们根据综合指标值进行排序，并给出30所师范院校的排名。2、层次分析法主观权重的确定，可以通过层次分析法得到这里取层次分析法确定权重。1）层次结构原理①构建层次分析法框架师范院校排名A级别建设B1学科基础B2学术建设B3教师队伍B4人才建设B5教育部直属C1985C2211C3本科专业C4硕士点C5博士点C6博士后流动站C7学术资源C8学术成果C9科研实力C10学科建设C11院士C12博士硕士C13人才培养C14学生后期发展C15目标层A准则层B准则层C‚②构造判断矩阵并赋值首先,根据层次结构原理图可以很容易地构造判断矩阵。然后,针对判断矩阵的准则，使其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）重要性标度含义1表示两个元素相比，具有同等重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述判断的中间值倒数若元素I与元素j的重要性之比为aij,则元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij③层次单排序层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权向量。利用和法的原理，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。具体的公式是：④判断矩阵的一致性在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。一致性检验的步骤如下：第一步，计算一致性指标C.I.（consistencyindex）第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（randomindex）据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。矩阵阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41矩阵阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第三步，计算一致性比例C.R.（consistencyratio）并进行判断当C.R.0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。①目标层指标（级别建设、学科基础、学术建设、教师队伍、人才建设）建立判断矩阵为11234511335512112231311223111411522111511522ABBBBBBBBBBA计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵的最大特征值该特征值对应的归一化特征向量：10.3572,0.2101,0.2101,0.1113,0.11135.003250.0008151NCIN则经查表得：0.00080.00070.11.12CICRRI故同理可得下列指标的权重：•②级别建设指标（教育部直属、985工程、211工程）•③学科建设指标（本科专业、硕士点、博士点、博士后流动点）•④学术建设指标（学术资源、学术成果、科研实力、学科建设）•⑤教师队伍（院士、博士硕士）•⑥人才建设（人才培养、学生后期发展）最终得出：层次计算权向量及检验结果表A单(总)排序权值B1单排序权值B2单排序权值B10.3572C10.5396C40.0895B20.2101C20.2970C50.0895B30.2101C30.1634C60.1732B40.1113CR0.0088C70.6478B50.1113CR0.0008CR0.0007B3单排序权值B4单排序权值B5单排序权值C80.5320C120.67C140.67C90.1854C130.33C150.33C100.1854CR0.00CR0.00C110.0971CR0.0016可以看出，所有单排序的C.R.0.1，认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。•3）层次总排序与检验•总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个元素相对于总目标的权重w(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wm(k-1))T，第k层n个元素对于上一层（第k-1层）第j个元素的单排序权重是pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnj(k))T，其中不受j支配的元素的权重为零。令P(k)=(p1(k),p2(k),…,pn(k)),表示第k层元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的总排序为：w(k)=(w1(k),w2(k),…,wn(k))T=p(k)w(k-1)或mjjijikk(k)wpw1)1()(根据对应指标间的关系相乘可得15项指标的权重系数：={0.1927,0.1061,0.0584,0.0188,0.0188,0.0364,0.1361,0.1118,0.0390,0.0390,0.0203,0.0746,0.0367,0.0746,0.0367}同样，对总排序结果进行一致性检验。设第k-1层第j个元素为准则的C.I.j(k)、R.I.j(k)和C.R.j(k),j=1,2,…,m,则第k层的综合检验指标C.I.j(k)=（C.I.1(k),C.I.2(k),…,C.I.m(k)）w(k-1)R.I.j(k)=（R.I.1(k),R.I.2(k),…,R.I.m(k)）w(k-1))()()()......kkkCICRRI经检验C.R.(k)0.1，所以判断矩阵的整体一致性是可以接受的。然后，同等权分析法得到的30所大学的综合得分。根据综合得分进行排序，并给出前30所大学的排名。方法二、因子分析法因子分析的基本思想：通过变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能够控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。然后根据相关性的大小把变量分组，只得同组内的变量之间相关性较高，但不同组的变量相关性较低。因子旋转，在实际应用因子分析中出现了难以解释的现象，根本原因是模型同实际数据的矛盾，而其直接原因表现在因子对变量的贡献不明确。于是设想在不改变因子协方差结构的情况下，通过旋转坐标轴来实现这一目的。因子分析方法的计算步骤：第一步：将原始数据标准化。第二步：建立变量的相关系数R。第三步：求R的特征根极其相应的单位特征向量。第四步：对因子载荷阵施行最大正交旋转。第五步：计算因子得分。数据的因子分析：利用SPSS软件可得以下结果：1、判断数据是否适合因子KMOandBartlett'sTestKaiser-Meyer-OlkinMeasureofSamplingAdequacy..787Bartlett'sTestofSphericityApprox.Chi-Square600.208df105Sig..000Kaiser给出一个KMO检验标准：KMO0.9，非常适合；0.8KMO0.9，适合；0.7KMO0.8，一般；0.6KMO0.7，不太适合；KMO0.5，不适合。由此可知，KMO统计量为0.787比较适合，因子分析的适用性检验通过。2、计算因子载荷和共同度TotalVarianceExplainedComponentInitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadingsRotationSumsofSquaredLoadingsTotal%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%19.74964.99464.9949.74964.99464.9946.81745.44445.44421.69111.27076.2641.69111.27076.2644.34428.96374.40731.0486.98983.2531.0486.98983.2531.3278.84683.2534.6544.36287.6155.5263.50791.1226.4092.72993.8517.3152.10195.9528.2471.64397.5969.141.94298.53810.110.73699.27411.039.25899.53212.032.21199.74313.018.11799.86014.015.10299.96115.006.039100.000ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.由相关系数矩阵R计算得到特征值、方差贡献率和累积贡献率，如上图所示，可知前三个因子的方差贡献率达到了83.235%＞80%，因此选前三个因子已经足够描述一所大学的总体水平。提取了三个公因子之后可以计算共同度CommunalitiesInitialExtraction教育部直属1.000.6369851.000.7342111.000.819本科专业1.000.947硕士点1.000.854博士点1.000.907博士点流动点1.000.920学术资源1.000.968学术成果1.000.831科研实力1.000.921学科建设1.000.955院士1.000.680硕士博士1.000.617人才培养1.000.937学生后期发展前景1.000.762Extrac