2014届高三数学(理)《离散型随机变量及其分布列 》

10．11离散型随机变量及其分布列考纲点击1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用.考点梳理一、离散型随机变量的分布列如果随机试验的结果可以用一个①______来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做②__________________.二、离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P＝(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的③____________，简称为X的④________.有时为了表达简单，也用等式⑤____________表示X的分布列．2．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)i＝1npi＝1.三、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1－pp，其中p＝⑥__________称为成功概率．2．超几何分布列：在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝⑦____________，且⑧______________，则称分布列为超几何分布列．X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN答案：①变量②离散型随机变量③概率分布列④分布列⑤P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n⑥P(X＝1)⑦min{M，n}⑧n≤N，M≤N，n、M、N∈N*考点自测1.抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是()A．2颗都是4点B．1颗1点，另1颗3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解析：由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点，故选D.答案：D2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25B．10C．7D．6解析：X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案：C3．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝()A.19B.16C.13D.14解析：由分布列的性质得12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝22a＝13.答案：C4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是__________．解析：设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案：455．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝23，P(ξ＝x2)＝13且x1＜x2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则x1＋x2的值为__________．解析：由E(ξ)＝43，得23x1＋13x2＝43.①由D(ξ)＝29，得x1－432×23＋x2－432×13＝29.②解由①②组成的方程组，得x1＝1，x2＝2.所以x1＋x2＝3.答案：3疑点清源1.若X是随机变量，Y＝aX＋b，其中a，b是常数，则Y也是随机变量．2．注意区分随机变量X与以前所学函数f(x)的概念．函数f(x)是研究确定性现象的，它定义在实数轴上，有确定的因果关系．概率中的随机变量是研究随机现象的，它定义在由全部试验结果所组成的集合上，它的取值是不能预知的，但它取值有一定的概率．我们研究随机变量时，关心的是，随机变量能取哪些值，即都包含哪些试验结果(基本事件)，以及注意研究它的统计规律，也就是事件概率的大小．3．求离散型随机变量分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．4．处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量，明确随机变量所代表的量.题型探究题型一离散型随机变量分布列的性质例1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．解析：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3点评：(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．变式探究1随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12＜X＜52的值为()A.23B.34C.45D.56解析：由题意得a1·2＋a2·3＋a3·4＋a4·5＝1，a1－12＋12－13＋…＋14－15＝4a5＝1，a＝54，P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝a1·2＋a2·3＝2a3＝56.答案：D题型二求离散型随机变量的分布列例2袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各两个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．解析：(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815；所以随机变量X的概率分布列为：X2345P130215310815(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.点评：分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示，通常我们用表格表示．求分布列的具体步骤如下：变式探究2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：(1)取到的次品数X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率．(精确到0.0001)．解析：(1)由于从100件产品中任取3件的结果数为C310，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为Ck5C3－k35，那么从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为P(X＝k)＝Ck5C3－k95C3100，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PC05C395C3100C15C295C3100C25C195C3100C35C095C3100(2)根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)≈0.13806＋0.00588＋0.00006＝0.14400.题型三超几何分布例3某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．解析：依题意随机变量X服从超几何分布，∴P(X＝k)＝Ck6C4－k4C410(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝0)＝C06C44C410＝1210，P(X＝1)＝C16C34C410＝435，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C36C14C410＝821，P(X＝4)＝C46C04C410＝114.∴X的分布列为：X01234P121043537821114点评：对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．变式探究3从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为：X012P解析：X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3.答案：0.10.60.3归纳总结•方法与技巧1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X是试验结果．2．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．3．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．•失误与防范掌握离散型随机变量的分布列，需注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.新题速递1.(2013·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.答案：C2．(2013·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x、y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为__________．解析：由于0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，得10x＋y＝25，于是两个数据分别为2,5.答案：2,53．(2013·衡水调研)设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa1316F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝()A.13B.16C.12D.56解析：∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.答案：D4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率为__________．解析：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)