2006年考研数学二真题及答案

2006年考研数学二真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）(1)曲线𝑦=𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥5𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥的水平渐近线方程为_________。【答案】𝑦=15。【解析】𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥5𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→∞1+4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥5−2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑥=15故曲线的水平渐近线方程为𝑦=15。综上所述，本题正确答案是𝑦=15【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)设函数𝑓(𝑥)={1𝑥3∫𝑠𝑖𝑛𝑡2𝑑𝑡,𝑥≠0,𝑥0𝑎,𝑥=0在𝑥=0处连续，则𝑎=_________。【答案】13。【解析】𝑎=𝑙𝑖𝑚𝑥→01𝑥3∫𝑠𝑖𝑛𝑡2𝑑𝑡𝑥0=𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥23𝑥2=13.综上所述，本题正确答案是13【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性(3)反常积分∫𝑥𝑑𝑥(1+𝑥2)2+∞0=_________。【答案】12。【解析】∫𝑥𝑑𝑥(1+𝑥2)2+∞0=𝑙𝑖𝑚𝑏→+∞∫𝑥𝑑𝑥(1+𝑥2)2𝑏0=𝑙𝑖𝑚𝑏→+∞12∫𝑑(1+𝑥2)(1+𝑥2)2=12𝑏0𝑙𝑖𝑚𝑏→+∞(−11+𝑥2)|0𝑏=12𝑙𝑖𝑚𝑏→+∞(1−11+𝑏2)=12综上所述，本题正确答案是12【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)微分方程𝑦′=𝑦(1−𝑥)𝑥的通解为__________。【答案】𝑦=𝐶𝑥𝑒−𝑥，𝐶为任意常数。【解析】𝑑𝑦𝑦=1−𝑥𝑥𝑑𝑥⇒𝑙𝑛|𝑦|=𝑙𝑛|𝑥|−𝑙𝑛𝑒𝑥+𝑙𝑛|𝐶|即𝑦=𝐶𝑥𝑒−𝑥，𝐶为任意常数综上所述，本题正确答案是𝑦=𝐶𝑥𝑒−𝑥。【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(5)设函数𝑦=𝑦(𝑥)由方程𝑦=1−𝑥𝑒𝑦确定，则𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=0=__________。【答案】−𝑒。【解析】等式两边对𝑥求导得𝑦′=−𝑒𝑦−𝑥𝑒𝑦𝑦′将𝑥=0代入方程𝑦=1−𝑥𝑒𝑦可得𝑦=1。将𝑥=0,𝑦=1代入𝑦′=−𝑒𝑦−𝑥𝑒𝑦𝑦′，得𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=0=−𝑒.综上所述，本题正确答案是−𝑒。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(6)设矩阵𝑨=[21−12]，𝑬为二阶单位矩阵，矩阵𝑩满足𝑩𝑨=𝑩+2𝑬，则|𝑩|=___________。【答案】2。【解析】𝑩𝑨=𝑩+2𝑬⇒𝑩(𝑨−𝑬)=2𝑬⇒|𝑩(𝑨−𝑬)|=|𝟐𝑬|⇒|𝑩||𝑨−𝑬|=22=4因为|𝑨−𝑬|=|11−11|=2，所以|𝑩|=2。综上所述，本题正确答案是2。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理二、填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(7)设函数𝑦=𝑓(𝑥)具有二阶导数，且𝑓′(𝑥)0,𝑓′′(𝑥)0，∆𝑥为自变量𝑥在点𝑥0处的增量，∆𝑦与𝑑𝑦分别为𝑓(𝑥)在点𝑥0处对应的增量与微分，若∆𝑥0，则(A)0𝑑𝑦∆𝑦(B)0∆𝑦𝑑𝑦(C)∆𝑦𝑑𝑦0(C)𝑑𝑦∆𝑦0【答案】A。【解析】【方法一】由函数𝑦=𝑓(𝑥)单调上升且凹，根据∆𝑦和𝑑𝑦的几何意义，得如下所示的图由图可得0𝑑𝑦∆𝑦【方法二】由凹曲线的性质，得𝑓(𝑥0+∆𝑥)𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)∆𝑥,∆𝑥≠0，于是𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)𝑓′(𝑥0)∆𝑥0,∆𝑥0，即0𝑑𝑦∆𝑦综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8)设𝑓(𝑥)是奇函数，除𝑥=0外处处连续，𝑥=0是其第一类间断点，则∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥0是(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数(C)在𝑥=0间断的奇函数(D)在𝑥=0间断的偶函数【答案】B。【解析】显然𝑓(𝑥)在任何有限区间[𝑎,𝑏]上都可积，于是𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥0连续，又因𝑓(𝑥)是奇函数，则𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥0是偶函数。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(9)设函数𝑔(𝑥)可微，ℎ(𝑥)=𝑒1+𝑔(𝑥),ℎ′(1)=1,𝑔′(1)=2，则g(1)等于(A)𝑙𝑛3−1(B)−𝑙𝑛3−1(C)−𝑙𝑛2−1(D)𝑙𝑛2−1【答案】C。【解析】ℎ′(𝑥)=𝑒1+𝑔(𝑥)∙𝑔′(𝑥).由ℎ′(1)=1,g′(1)=2，得g(1)=𝑙𝑛ℎ′(1)g′(1)−1=𝑙𝑛12−1=−𝑙𝑛2−1综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10)函数𝑦=𝐶1𝑒𝑥+𝐶2𝑒−2𝑥+𝑥𝑒𝑥满足的一个微分方程是(A)𝑦′′−𝑦′−2𝑦=3𝑥𝑒𝑥(B)𝑦′′−𝑦′−2𝑦=3𝑒𝑥(C)𝑦′′+𝑦′−2𝑦=3𝑥𝑒𝑥(D)𝑦′′+𝑦′−2𝑦=3𝑒𝑥【答案】D。【解析】因为𝑦=𝐶1𝑒𝑥+𝐶2𝑒−2𝑥+𝑥𝑒𝑥是二阶常系数非齐次线性方程的解，故𝑌=𝐶1𝑒𝑥+𝐶2𝑒−2𝑥是对应的齐次方程的通解，𝑦∗=𝑥𝑒𝑥是非齐次方程的特解，因此𝑟=1,𝑟=−2是齐次方程特征方程的根，齐次方程应为𝑦′′+𝑦′−2𝑦=0，这样可排除A和B，又因为𝛼=1是特征方程的单根，因此非齐次项为𝑓(𝑥)=𝐴𝑒𝑥,因此答案为D。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—常微分方程—线性微分方程解的性质及解的结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程(11)设𝑓(𝑥,𝑦)为连续函数，则∫𝑑𝜃𝜋40∫𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑟𝑑𝑟10等于(A)∫𝑑𝑥√220∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦√1−𝑥2𝑥(B)∫𝑑𝑥√220∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦√1−𝑥20(C)∫𝑑𝑦√220∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥√1−𝑦2𝑦(D)∫𝑑𝑦√220∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥√1−𝑦20【答案】C。【解析】如图所示，显然是y型域，则原式=∫𝑑𝑦√220∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥√1−𝑦2𝑦综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(12)设𝑓(𝑥,𝑦)与𝜑(𝑥,𝑦)均为可微函数，且𝜑𝑦′(𝑥,𝑦)≠0。已知(𝑥0,𝑦0)是𝑓(𝑥,𝑦)在约束条件𝜑(𝑥,𝑦)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)=0，则𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)=0(B)若𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)=0，则𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)≠0(C)若𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)≠0，则𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)=0(D)若𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)≠0，则𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)≠0【答案】D。【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。作拉格朗日函数𝐹(𝑥,𝑦,𝜆)=𝑓(𝑥,𝑦)+𝜆𝜑(𝑥,𝑦),并记对应𝑥0,𝑦0的参数𝜆的值为𝜆0,则{𝐹𝑥′(𝑥0,𝑦0,𝜆0)=0𝐹𝑦′(𝑥0,𝑦0,𝜆0)=0,即{𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)+𝜆0𝜑𝑥′(𝑥0,𝑦0)=0𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)+𝜆0𝜑𝑦′(𝑥0,𝑦0)=0,消去𝜆0得：𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)𝜑𝑦′(𝑥0,𝑦0)−𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)𝜑𝑥′(𝑥0,𝑦0)=0,整理得：𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)=1𝜑𝑦′(𝑥0,𝑦0)𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)𝜑𝑥′(𝑥0,𝑦0)(因为𝜑𝑦′(𝑥,𝑦)≠0),若𝑓𝑥′(𝑥0,𝑦0)≠0,则𝑓𝑦′(𝑥0,𝑦0)≠0。综上所述，本题正确答案是D【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限(13)设𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠均为𝑛维列向量，𝑨是𝑚×𝑛矩阵，下列选项正确的是(A)若𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性相关，则𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性相关(B)若𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性相关，则𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性无关(C)若𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性无关，则𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性相关(D)若𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性无关，则𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性无关【答案】A。【解析】【方法一】因为𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性相关，故存在不全为零的数𝑘1,𝑘2,⋯,𝑘𝑠使得𝑘1𝜶1+𝑘2𝜶2+⋯+𝑘𝑠𝜶𝑠=0从而有𝑨(𝑘1𝜶1+𝑘2𝜶2+⋯+𝑘𝑠𝜶𝑠)=𝑨0=0即𝑘1𝑨𝜶1+𝑘2𝑨𝜶2+⋯+𝑘𝑠𝑨𝜶𝑠=0,由于𝑘1,𝑘2,⋯,𝑘𝑠不全为0而是上式成立，说明𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有(𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠)=𝑨(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠)那么𝑟(𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠)≤𝑟(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠)因为𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠线性相关，有𝑟(𝜶1,𝜶2,⋯,𝜶𝑠)s从而𝑟(𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠)𝑠,故𝑨𝜶1,𝑨𝜶2,⋯,𝑨𝜶𝑠线性相关。综上所述，本题正确答案是A【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩(14)设𝑨为三阶矩阵，将𝑨的第2行加到第1行的𝑩，再将𝑩的第1列的−1倍加到第2列得𝑪，记𝑷=[110010001]，则(A)𝑪=𝑷−1𝑨𝑷(B)𝑪=𝑷𝑨𝑷−1(C)𝑪=𝑷T𝑨𝑷(D)𝑪=𝑷𝑨𝑷T【答案】B。【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有𝑩=[110010001]𝑨,𝑪=𝑩[1−10010001]所以𝑪=[110010001]𝑨[1−10010001]=𝑷𝑨𝑷−𝟏。综上所述，本题正确答案是B【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算三、解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）(15)（本题满分10分）试确定常数𝐴,𝐵,𝐶的值，使得𝑒𝑥(1+𝐵𝑥+𝐶𝑥2)=1+𝐴𝑥+𝑜(𝑥3)，其中𝑜(𝑥3)是当𝑥→0时比𝑥3高阶的无穷小量。【解析】由泰勒公式知：𝑒𝑥=1+𝑥22+𝑥33+𝑜(𝑥3)则𝑒𝑥(1+𝐵𝑥+𝐶𝑥2)=(1+𝑥22+𝑥33+𝑜(𝑥3))(1+𝐵𝑥+𝐶𝑥2)=1+(𝐵+1)𝑥+(12+𝐵+𝐶)𝑥2+(16+12𝐵+𝐶)𝑥3+𝑜(𝑥3),=1+𝐴𝑥+𝑜(𝑥3)比较等式两端同次幂的系数得{𝐵+1=𝐴12+𝐵+𝐶=016+12𝐵+𝐶=0,解得𝐴=13,𝐵=−23,𝐶=16。【考点】高等数学—函数、极限、连续—泰勒公式(16)（本题满分10分）求∫𝑎