空间向量的正交分解及其坐标表示-课件-(人教版)

•1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．•2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．•3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.•1.空间向量基本定理．(重点)•2.用基底表示已知向量．(难点)•3.在不同坐标系中向量坐标的相对性．(易错点)•1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.不共面的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组．•2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量．a＝λ1e1＋λ2e2基底正交分解3．若a＝(1，－1)，b＝(－1,3)，c＝(3,5)，则使c＝xa＋yb成立的实数x＝，y＝.4．在各棱长均为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为面A1B1C1D1的中心，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，你能否用a，b，c表示出AO→？表示出的结果还有没有其他表示方法？74问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,abpxyzOijkQPp一、空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在所确定平面上的正投影.p,,ijk,ij一、空间向量的坐标分解,,,zkOQ实数存在所确定的平面上在,,,,ijxy在所确定的平面上存在实数jyixOQ使得kzOQOP使得kzjyixkzOQOPxyzQPpOijk由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量.,,ijkP,,xiyjzk,,ijkp.pxiyjzk空间向量基本定理：都叫做基向量,,abc注:探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗？,,abc,,ijk如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使,,abcP.pxaybzc,,xyz{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底{,,,},,,.{,,}.abcPPxaybzcxyzRabcabc如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是这个集合可以看做是由向量生成的故叫做空间的一个基底（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.00（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.二、空间直角坐标系xyze1e2e3O单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用表示.123,,eee123,,eee123,,eee空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz123,,eee123,,eee123,,eee123,,eee123,,eee123,,eee121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积121323112233,,,,,.eeeeeeeeeeee计算单位正交基之间的数量积xyzOP(x,y,z)e1e2e3P在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量,平移使其起点与原点o重合,得到向量由空间向量基本定理可知,存在有序实数组,使oppopp,,xyz123Pxeyeze123Pxeyeze123Pxeyeze123,,,,,{,,}.xyzPeeePxyz叫做向量在单位正交基底下的坐标记做123,,,,,{,,}.xyzPeeePxyz叫做向量在单位正交基底下的坐标记做123,,,,,{,,}.xyzPeeePxyz叫做向量在单位正交基底下的坐标记做此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系O--xyz中的坐标，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.,,xyz,,xyz,,xyz显然,向量的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).OPxyzOP(x,y,z)即(,,)(,,)OPxyzPxyz也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.e1e2e3一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的坐标表示是什么？______________AM______________OB1________________PQ练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ..OQOPOCOBOAMNQPBCOAOABCNM和表示，，量用向的三等分是，的中点，，的边分别是四面体，如图，例题讲解例1.OABCMNPQ11163312:2312()23121()632OAOBOCOPOMMPOAMNOAONOMOAOBOC解..OQOPOCOBOAMNQPBCOAOABCNM和表示，，量用向的三等分是，的中点，，的边分别是四面体，如图，例1.OABCMNPQ:1111(2323111()232111()332111366OQOMMQOAMNOAONOMOAONOAOAOBOCOAOBOC解）•1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()•A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2a•C．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c•答案：C解析：不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝32(2a)z＋(－2)(a－b)，三个向量共面；B中，b＋2a＝32(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三个向量共面，只有C中的三个向量不共面．2．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示向量MN→为()A.12a＋12b＋12cB.12a－12b＋12cC．－12a＋12b＋12cD．－12a＋12b－12c•答案：C解析：如右图所示，连结ON，AN，则ON→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)，AN→＝12(AC→＋AB→)＝12(OC→－2OA→＋OB→)＝12(－2a＋b＋c)＝－a＋12b＋12c，所以MN→＝12(ON→＋AN→)＝－12a＋12b＋12c.3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则A1C→的坐标为________，CD1→的坐标为________．解析：A1(0,0,1)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)A1C→＝(1,1，－1)，CD1→(－1,0,1)•答案：(1,1，－1)(－1,0,1)4.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝3∶1，用向量a，b，c表示以下向量．(1)AP→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→.解析：(1)因为P是CA′的中点，所以AP→＝12(AC→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→)＝12(a＋b＋c)．(2)因为M是CD′的中点，所以AM→＝12(AC→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→)＋(AD→＋AA′→)]＝12AB→＋AD→＋12AA′→＝12a＋b＋12c.(3)因为N是C′D′的中点，所以AN→＝12(AC′→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)]＝12AB→＋AD→＋AA′→＝12a＋b＋c.(4)因为CQ∶QA′＝3∶1.所以AQ→＝AA′→＋14A′C→＝AA′→＋14(AB→＋AD→－AA′→)＝14AB→＋14AD→＋34AA′→＝14a＋14b＋34c.•以下四个命题中正确的是()•A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示•B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量•C．若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底•D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底•根据空间基底的定义逐个选项判断．•[解题过程]•答案：B选项判断原因分析A×由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由不共面的三个向量才能表示B√基向量不共面，因此不可能有零向量C×基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个基向量两两垂直D×基底的构成必须是三个不共面的向量•1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()•A．a与b共线B．a与b同向•C．a与b反向D．a与b共面•解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的．故D错．•答案：A已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OP→＝2e1－e2＋3e3，OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，能否以{OA→，OB→，OC→}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP→.[策略点睛][解题过程]假设OA→，OB→，OC→共面，据向量共面的充要条件有：OA→＝xOB→＋yOC→则有：e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，∴－3x＋y＝1，x＋y＝2，x－y＝－1.此方程组无解，∴OA→，OB→，OC→不共面．∴{OA→，OB→，OC→}可作为空间的一个基底．设OP→＝mOA→＋nOB→＋zOC→，有：2e1－e2＋3e3＝m(e1＋2e2－e3)＋n(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(m－3n＋z)e1＋(2m＋n＋z)e2＋(－m＋2n－z)e3.∴m－3n＋z＝2，2m＋n＋z＝－1，－m＋2n－z＝3.∴m＝17，n＝－5，z＝－30.∴OP→＝17OA→－5OB→－30OC→.•2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：•①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y，a＋b＋c}．•其中可以作为空间基底的向量组有()•A．1个B．2个•C．3个D．4个•答案：C解析：