《1.3 正弦定理、余弦定理的应用》教学案

1．3《正弦定理、余弦定理的应用》教学案●三维目标1.知识与技能(1)能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；(2)体会数学建模的基本思想，掌握应用解三角形知识解决实际问题的一般步骤；(3)了解常用的测量相关术语(如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义)，综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；(4)能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力；(5)规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰．2.过程与方法(1)本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题；(2)让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．3．情感、态度与价值观(1)激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；(2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神；(3)培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.●重点、难点重点：(1)综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；(2)掌握求解实际问题的一般步骤；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图．体验将实际问题转化为数学问题的过程与思想，认识研究实际问题的方法，是本节教学的重中之重，而突破这一重难点的关键在于引导学生对实际问题进行分析，抽象出数学问题，再利用解三角形的知识加以解决．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形的基础上，让学生尝试绘制知识纲目图．生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础．解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决．能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等多媒体工具来进行演示，利用动态效果能使学生更好地明辨是非、掌握方法．引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．●教学流程创设问题情境引导学生熟悉实际测量中的有关术语，了解它们的使用.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握利用正、余弦定理解决测量问题的方法.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用正、余弦定理解决航海问题的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握正、余弦定理在平面几何问题中的应用.⇒结合三个例题，引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学课标解读1.巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点)2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)知识实际测量中的有关术语【问题导思】小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，到达学校上课．1．小明的学校在家的哪个方向？【提示】东南方向．2．能否用角度确定学校的方位？【提示】能．名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角续表名称定义图示俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角课堂互动探究类型1测量问题例1如图1－3－1所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，图1－3－1在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20m，求山高CD.(精确到0.1m)【思路探究】DC可放到△BCD中，要求CD，已知∠DBC＝60°，∠CDB＝90°，所以只需求BD或CB，在△ABC中，AB的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB，则CD＝CB·sin60°.【自主解答】由条件知∠DBC＝60°，∠ECA＝45°，∴∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝60°－45°＝15°，∠CAB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝135°，在△ABC中，由正弦定理得BCsin135°＝ABsin15°，∴BC＝AB·sin135°sin15°＝20×22146－2＝403－1.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin∠CBD＝403－1×32≈47.3(m)．∴山高CD约为47.3m.规律方法1．本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键．2．测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转化为立体图形的问题．变式训练如图1－3－2所示，空中有一气球C，图1－3－2在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它的南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，A，B两点间的距离为266米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？【解】设OC＝x，则OA＝x，OB＝x·tan60°＝3x.在△AOB中，∠AOB＝90°＋60°＝150°，AB＝266，所以AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB＝x2＋3x2－2x·3x·(－32)＝7x2，所以x＝77AB＝77×266＝387(米)，所以气球离地(387＋1)米.类型2航海问题例2甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？【思路探究】画图→分析三角形满足条件→选择定理列方程→求相关量→作答【自主解答】如图所示：设乙船速度为v海里/小时，在C处追上甲船，∠BAC＝45°＋180°－105°＝120°，在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，(23v)2＝(23×9)2＋102－2×23×9×10×cos120°，整理得v＝21.又由正弦定理可知BCsin∠BAC＝ACsinB，∴sinB＝AC·sin∠BACBC＝23×923×21×sin120°＝3314，∴B≈21°47′.即B应以每小时21海里的速度，按东偏北45°＋21°47′＝66°47′的角度航行．规律方法1．根据题意，恰当地画出三角形是解题的基础，将已知线段数量和角度，转化为要解三角形的边长和角度，是解题的关键．2．有关角度问题，一般要涉及到方位角、方向角等概念，对这些数据，要恰当转化，合理运用．变式训练在海岸A处发现在其北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船以103海里/时的速度追走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．【解】由题意画出示意图如图所示，设缉私船最快追上走私船所需时间为t小时，则CD＝103t，BD＝10t.∵在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝45°＋75°＝120°，∴BC＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝22＋3－2－3－＝6.∵BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝ACsin∠BACBC＝2×326＝22.∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，所以sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12.∴∠BCD＝30°或∠BCD＝150°(舍去)，∴∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6，∴10t＝6，∴t＝610，∴缉私船沿北偏东60°方向行驶能最快追上走私船，所需时间为610小时.类型3平面几何问题例3如图1－3－3所示，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，2a＜b，D是△ABC内一点，且A图1－3－3D＝a，∠ADB＋C＝π，问C为何值时，凹四边形ACBD的面积最大？并求出最大值．【思路探究】在三角形ABD和三角形ABC中分别运用余弦定理，可先求出边BD的长，进而表达出凹四边形ACBD的面积．【自主解答】设BD＝x，在△ABC和△ABD中，根据余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcosC，AB2＝a2＋x2－2axcos∠ADB＝x2＋a2＋2axcosC，∴a2＋b2－2abcosC＝x2＋a2＋2axcosC，即x2＋2axcosC＋(2acosC－b)b＝0，解得x＝b－2acosC，或x＝－b(舍去)．于是凹四边形ACBD的面积S＝S△ABC－S△ABD＝12absinC－12axsin∠ADB＝12absinC－12a(b－2acosC)sinC＝12a2sin2C.∴当C＝π4时，凹四边形ACBD的面积最大，最大值为12a2，此时BD＝b－2a.规律方法1．本例中，以角C为自变量，将凹四边形ACBD的面积表示为角C的三角函数，从而求解最值问题．2．求解平面图形的面积最值问题，关键是恰当地设立角度为自变量，建立目标函数．变式训练如图1－3－4所示，已知扇形OAB，图1－3－4O为顶点，圆心角∠AOB＝60°，半径为2cm，在弧AB上有一动点P，由P引平行于OB的直线和OA相交于C，∠AOP＝β.求△POC的面积的最大值以及此时的β值．【解】∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝60°.∴∠PCO＝120°，∠OPC＝60°－β.在△OCP中，由正弦定理得OPsin120°＝OC－β，∴OC＝OP－βsin120°＝－βsin120°，S△OCP＝12·OC·OPsinβ＝12×－βsin120°×2sinβ＝2sinβ－βsin120°＝3sinβcosβ－sin2βsin120°＝32sin2β－1－cos2β2sin120°＝β－－12sin120°＝β－－13.故当cos(2β－60°)＝1，即当2β＝60°，β＝30°时，S△OCP有最大值33cm2.易错易误辨析过程不严谨，靠主观臆判而致误典例如图1－3－5所示的是曲柄连杆装置示意图，连杆AC＝c，图1－3－5曲柄AB和曲轴BL所成的角为α，连杆AC和曲轴BL间的夹角为β，则α取什么值时，sinβ最大？【错解】∵点A在圆B上运动，∴要使β，即∠ACB最大，只需点A在最高或最低点即可，此时，△ABC中，∠ABC＝90°，即α＝90°时，AB＝r，AC＝c，sinβ＝sin∠ACB＝rc为所求的最大值．【错因分析】上述解答中想当然地认为点A在最高或最低点时，sinβ最大，虽然结论正确，但过程不严谨．【防范措施】建立目标函数，转化为三角函数最值问题，定量分析．【正解】在△ABC中，由正弦定理，得ABsinβ＝ACsinα，∴sinβ＝rcsinα.由对称性可知，只需讨论α∈[0，π]即可．∵sinβ＝rcsinα≤rc，∴当且仅当sinα＝1，即α＝π2时，s