小升初奥数讲义

1★小学六年级奥数的基本分类★一、工程问题★跟知识握握手1、顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。2、在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作总量=工作效率×工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间。【工作总量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工作量，常用分数表示。例如工程的一半表示成21..............工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。】★小试牛刀1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？27．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？★二．鸡兔同笼问题★跟知识握握手1、基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。2、基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。3、基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）4、关键问题：找出总量的差与单位量的差。5、解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。【概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是】：鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔数＝鸡兔总数－鸡数★小试牛刀1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，问鸡、兔各多少只？2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各多少只？3、每一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数计算，每只2角，如有破损，破损的不给运费，还要每只赔偿1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？34、六年级甲班有50个同学向汶川灾区捐款共计2010元，其中捐50元的人有30人，其他同学捐20元或者30元，问捐20元和30元的同学各多少人？5、学校组织新年文艺晚会，用作奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，共花了300元，其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.6元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元，问三种笔个多少支？6、从甲到乙全长45千米，有上坡路、平路、下坡路，李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲到乙，李强走了10小时，从乙到甲李强走了11小时，问甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米？7、有堆硬币，面值为1分、2分和5分三种，其中1分硬币是2分硬币的11倍，已知这堆硬币的币值总和是1元，问5分有多少枚？8、有50名同学外出游玩，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地铁前往每人6元，这些同学共有车费110元，问其中乘小巴的共有多少人？9、鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?★三．数字数位问题1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.答案为857148．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.410．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?★四．排列组合问题★跟知识握握手1、排列：一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．【根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．】2、排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnP．根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n)种方法；……步骤m：从剩下的[(1)]nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有11nmnm（）(种)方法；3、【由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是121nnnnm（）（）（），即12.1mnPnnnnm（）（）（），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘。】4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．【从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．】5、从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作mnC。6、一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数nmP可分成以下两步：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有mnC种方法；第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有mmP种排法．根据乘法原理，得到mmmnnmPCP．因此，组合数12)112321mmnnmmPnnnnmCPmmm（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．★小试牛刀1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A768种B32种C24种D2的10次方中52若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()A119种B36种C59种D48种3、小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。4、用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？5、用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？6、用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？7、用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？8、用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？9、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？10、两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？12、4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：[1]甲不在中间也不在两端；[2]甲、乙两人必须排在两端；[3]男、女生分别排在一起；[4]男女相间一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：[1]当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？[2]当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？13、[1]从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列6式）[2]从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？[3]3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？[4]8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？[5]一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？[6]8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？14、某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，