双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用

1F1OF2xPy双曲线焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）定理在双曲线12222byax（a＞0，b＞0）中，焦点分别为1F、2F，点P是双曲线上任意一点，21PFF，则2cot221bSPFF.证明：记2211||,||rPFrPF，由双曲线的第一定义得.4)(,2||222121arrarr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bacrr由任意三角形的面积公式得：2cot2sin22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF..2cot221bSPFF同理可证，在双曲线12222bxay（a＞0，b＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1设1F和2F为双曲线1422yx的两个焦点，P在双曲线上，且满足9021PFF，则△21PFF的面积是（）A.1B.25C.2D.5解：,145cot2cot221bSPFF选A.2例2(03天津)已知1F、2F为双曲线1422yx的两个焦点，P在双曲线上，若△21PFF的面积是1，则21PFPF的值是___________.解:,12cot2cot221bSPFF452,即.9021PFPF，从而.021PFPF例3已知1F、2F为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且6021PFF，△21PFF的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程.解：由31230cot2cot2221bbSPFF得：.122b又,2122abe.41212a从而.42a所求的双曲线的标准方程为112422yx，或112422xy.金指点睛1.已知双曲线1422yx的两个焦点为1F、2F，点P在双曲线上，且△21PFF的面积为3，则21PFPF的值为()A.2B.3C.2D.32.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21FF，P是此双曲线上的一点，且2||||,2121PFPFPFPF，则该双曲线的方程是（）A.13222yxB.12322yxC.1422yxD.1422yx3.（05全国Ⅲ）已知双曲线1222yx的焦点为1F、2F，点M在双曲线上，且021MFMF，则点M到x轴的距离为（）A.34B.35C.332D.334.双曲线116922yx两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为,3则△F1PF2面积为()A．163B．323C．32D．425.双曲线14491622yx，1F、2F为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且32||||21PFPF，求21PFF的大小.6.已知双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的焦点为1F、2F，P为双曲线上一点，且021PFPF，abPFPF4||||21，求双曲线的离心率.参考答案1.解：32cot2cot221bSPFF，60,302.又3sin||||212121PFPFSPFF，4||||21PFPF.21PFPF=2214cos||||21PFPF.故答案选A.2.解：,21PFPF1221||||212121PFPFSPFF.又145cot2cot22221bbbSPFF，1b，而5c，2a.故答案选C.3.解：021MFMF，21MFMF.245cot22cot221bSMFF.点M到x轴的距离为h，则23||212121hchhFFSMFF，332h.故答案选C.4.解：设21PFF，则3.3166cot162cot221bSPFF.故答案选A.5.解：由14491622yx得116922yx.设21PFF（1800）.2cot162cot221bSPFF.又sin16sin||||212121PFPFSPFF.42cotsin，即2sin2cos2cos2sin2.整理得：212sin2，222sin，452，90.故21PFF的大小为90.6.解：设21PFF，021PFPF90.22245cot2cot21bbbSPFF.又ababPFPFSPFF2421||||212121，abb22.得2ab.离心率5)(12abe.