初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第30讲-从创新构造入手

1第三十讲从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解．所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1．构造方程；2．构造函数；3．构造图形；4．对于存在性问题，构造实例；5．对于错误的命题，构造反例；6．构造等价命题等．【例题求解】【例1】设1a、2a、1b、2b都为实数，21aa，满足))(())((22122111babababa，求证：1))(())((22211211babababa．思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a、2a可看作方程1))((21bxbx的两根，则))((1))((2121axaxbxbx，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．【例2】求代数式1342222xxxx的最小值．思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．222222)30()2()10()1(13422xxxxxx，于是问题转化为：在x轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．2【例3】已知b、c为整数，方程052cbxx的两根都大于1且小于0，求b和c的值．思路点拨利用求根公式，解不等式组求出b、c的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令cbxxy25，从讨论抛物线与x轴交点在1与0之间所满足的约束条件入手．【例4】如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E点有几个?若不能找到，请说明理由．思路点拨假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=x，则BCBEAEAD，即axbxa，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．【例5】试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．思路点拨构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．3学历训练1．若关于x的方程012)1(22mxxm的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．2．已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且1))((daca，1))((dbcb，那么))((cbca的值是．3．代数式9)12(422xx的最小值为．4．A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛，已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B队比赛的球队是．5．若实数a、b满足122baba，且22baabt，则t的取值范围是．6．设实数分别s、t分别满足0199192ss，019992tt，并且1st，求tsst14的值．7．已知实数a、b、c满足0))((cbaca，求证：)(4)(2cbaacb．8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．9．求所有的实数x，使得xxxx111．10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：2110132cba．11．已知关于x的方程kxx1322有四个不同的实根，求k的取值范围．12．设10zyx，，0，求证1)1()1()1(xzzyyx．13．从自然数l，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．14．已知a、b、c、d、e是满足8edcba，162222edcba的实数，试确定e的最大值．15．如图，已知一等腰梯形，其底为a和b，高为h．(1)在梯形的对称轴上求作点P，使从点P看两腰的视角为直角；(2)求点P到两底边的距离；(3)在什么条件下可作出P点?4参考答案5