人教版八年级数学-几何培优讲义设计--第6讲-夹半角模型--无答案

知识目标第6讲夹半角模型模块一夹半角的模型例1、例2、例3难度：★★★模块二夹半角的应用例4、例5、例6难度：★★★★模块一夹半角的模型知识导航夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。这类题目有其固定的做法，当取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。夹半角的常见分类：（1）90度夹45度（2）120度夹60度（3）2α夹α题型一90度夹45度【例1】如图，正方形ABCD中，E在BC上，F在CD上，且∠EAF＝45°，求证：（1）BE＋DF＝EF（2）∠AEB＝∠AEF【练习】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF－BE＝EF（2）∠AEB＋∠AEF＝180°夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：（1）已知△ABC为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N是AB上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝MN2（2）如图，正方形ABCD中，F为CD中点，点E在BC上，且∠EAF＝45°，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点．题型二120度夹60度【例2】已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN．【练习】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．真题演练在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；Q此时＝；（不必证明）L（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝2，则Q＝（用含有L的式子表示）题型三2α夹α【例3】如图，在四边形ABDC中，M、N分别为AB、AC上的点，若∠BAC＋∠BDC＝180°，BD＝DC，1∠MDN＝2∠BDC，求证：BM＋CN＝MN．【练习】如图，在例3的条件下，若M、N分别为BA延长线、AC延长线上的点，∠BAC＋∠BDC1＝180°，BD＝DC，∠MDN＝2∠BDC，探究：线段BM、CN、MN的数量关系．模块二夹半角模型的应用【例4】如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（a，0），B点的坐标为（b，0），且a、b满足a120，若D（0，4），EB⊥OB于B，且满足∠EAD＝45°，试求线段EB的长度．aba2144a1【例5】点A（a，0）、B（0，b）分别在x轴、y轴上，且aba26a90．（1）求a，b的值（2）如图1，若线段AB的长为32，点C为y轴负半轴上的一点，且射线CA平分△AOB的外角∠BAx，求点C的坐标．（3）如图2，取点D（0,2）并连接AD，将△AOD沿直线AD折叠得到△ADE，过点B作y轴的垂线BF交射线DE的延长线于F点，连接AF，求BF的长．【例6】如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b），点B（a，0），点D（d，0），且a、b、d满足b3(2d)20，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求点A、点B、点D的坐标；（2）求点E、点F的坐标；（3）如图，过P（0，－1）作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在点P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于点N，ME交y轴的正半轴于点M，确定AMMQ的值．PQ第6讲【课后作业】夹半角1．如图，E是正方形ABCD中CD边上的任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE1，∠EAE1的平分线交BC边于点F，求证：△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半．2．如图△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长为．3．已知如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAE＝2∠CAD．4．如图，平面直角坐标系中，已知A（a，4）、B（b，0），且满足（1）求A、B两点的坐标（2）若点C在第一象限内，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．b26b90（3）如图，点N（1，0）、R（4，3），点P为线段AN上的一动点，连接PR，以PR为一边作∠PRM＝45°，交x轴于点M，连PM，请问点P在运动的过程中，线段PM、AM、BM直线有怎样的数量关系，证明你的结论．a1