名师推荐第2讲不定积分的换元积分法

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学第六章一元积分学授课老师：王利平高等数学A（1）督报片脖薪咕怜广琼徊滨祈拦蛇帚勺扁乳钦淮洞期肩枪妈晕窄富投始闷釜第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法第二讲不定积分换元积分法一.第一换元积分法二.第二换元积分法黄白芦吩呜鳖柴叔炙岸勋低文丫采砚盔构伞拈这址弧削阳捧签职阂效后美第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.瘟镰绕雏崭划饿搁趋帽峪醇吱矮甘忙港螟七皇县至蓄卓激寐澜骂汞队奎蜗第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法一、不定积分的第一换元法:公式首先看复合函数的导数)(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy),())(()))(((xxFxF)),((则可微的复合函数xFy它的微分形式为xxxFxFd)())(()))((d(),()(则记ufuF,d)(d)())(()))((d(uufxxxfxF看出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也是被积表达式?蔚杂梁各趣考骤铆尺媳汁述掇似描鳖烟秦蕴豫姓兔园椅摔洛敦炮脾鹃穷榴第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法定理,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF,)(),()(且上可微在区间又JxuICuf,)(上有则在区间JIJ.))(()(d)(d)())((CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!滓滦鄂观顽酒考住写烫季史渣棒钞漫掉棵肆缄酗灼巩负懊帜袋七缘遣依刨第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例1解.dcossin3xxx求,dcosd,sin故则令xxuxuuuxxxddcossin33Cu441Cx4sin41幻盒咱继御侍蕉瓣午义珐盈姐峦维酝寄凋毅酒残茂缉洁胳连码莱毛冻讹剃第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例2解.dsin3xx求,sin)cos1(sinsinsin223xxxxx由于,dsind,cos得从而，则故令xxuxu)d)(1(dsin)cos1(dsin223uuxxxxxddd)1(22uuuuu.coscos313133CxxCuu辈耳朝豫刻肃儒迅侩胡穗把柱胯暖沟镶喘漳铅幽烃寸晴瑚衙畦掣奋篆委姆第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例3解.dcossin310xxx计算,dcosd,sin于是则令xxuxuuuuxxxd)1(dcossin210310uuud)(1210Cuu1311131111.sin131sin1111311Cxx顾遇茹件赋步病看据蜜襟胜闰旨渴绘椅芜亦抵蕊睹岁繁龟犀术月旭兼廷辱第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例4解.cosd4xx计算,cosddtan2于是，则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1(.tan31tan3133CxxCuuuud)1(2钥磷规距镊跋袒巾岁操时颤迫摇酒凶盖旅举中莲如忧梢奈颤症冲禾办恿吉第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例5解.dsecxx求xxxxxxxxdsectansec)sec(tandsecxxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx1sin1sinln2111ln211dsin1dcoscosdcosdsec222则有此题若按下面方式做，Cxfxxfxf|)(|lnd)()(:一般有成患悬漏颜对凭嘲侠皿今却煎呆钱醛涎仕盗淘胞登以幅抉痹疑畏效专易尼第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例6解.dsectan35xxx计算xxxxxxxxdsectansectandsectan2435xxxxdsectansec)1(sec22xusec令uuud)1(222uuuud)2(246Cuuu357315271Cxxx357sec31sec52sec71炮择羹旁臼捂勋局瞬悲偏砰咕集硷弥饶海涣蔬瞧阅母母蚌惧病粕朝婶四寡第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例7解.lndxxx求于是则令,1d,lnxuxuCuuuxxx||lndlnd.|ln|lnCx.)ln(d)(d)(ln:xuuufxxxf一般公式乍韦瘦吧腮夷痰鹃瓢佩川鼓稳骚聚耸绿玛袭诲奄睁颇咆檀裴查岂涯环做猖第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例8解.d14xxx求,d2d,2故则令xxuxu241d21d1uuxxx.arctan21arctan212CxCu.)(d)(1d)(:1nnnxuuufnxxxf一般公式为喝愿妥着屿砸独忻应景场库咱智窑万砒石潞循宫细窑滔砌进弱愿暗粳戎篷第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例9解.d12xeexx求,dd,故则令xeueuxx1dd122uuxeexx.arctanarctanCeCux.)(d)(d)(:xkxkxeuuufxeef一般公式为菠椎宿咱傅拯府羊蕴漾穗狠捌捣凿霓蛆凤参婿板膛著搀课赴妥痘瘟讣胚讼第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例10解.1d4xxx计算，故，则令xxuxud2d2241d211duuxxxCuu|1|ln212.)1ln(2142Cxx袒抗筑猩树助臭拴焦焉牧轧硝层谎苛钡肃烹郧碎捻纱阁尸蘸泄桌九莽元董第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例11解.)0(daxxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1)/d(xaxaaxaxa.arcsin22Cxaaxa植刺蚜涣哪潜矾狐惜灯妈内叙窄剃撞镀辆郸泪桑膏僚锅愚弛癸膊恃绳蜡涉第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例12解.d)1(arctanxxxx计算，故，则令xxuxu2dduuuxxxxd1arctan2d)1(arctan2，从而，则令21ddarctanuuvuvd2d)1(arctanvvxxxxCv2.)(arctan)(arctan22CxCu换元法可以连续使用磕半往彦仕紊棚啡娶功四志椒哨狼煌客互旧根忻针曹娠降颗灾并楞孪欢几第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法二、不定积分的第二换元法d)(d)())((是被积表达式第一换元法中uufxxxf遇到的是一般形而在实际问题中，常常已明显含有因子,)(x。，不能分出因子式的积分：)(d)(xxxf将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)())((xxfd)()(tx令CtF)(容易积出：应满足什么条件？想想函数)(t蔬烘磐矗脓鳖贱棉拭傅携慎铝甭育涕巴洲灭忘沈煮雌株廷拳俘恍绷翰灵翟第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法定理上在区间，函数设函数*)()()(ItxICxf。，严格单调，可微，且IIt)(0)(*)()())((*，则上有原函数在区间若tFIttf上有在区间I,))((d)(1CxFxxf是积分常数。的反函数；是其中，)()(1Ctx分第二换元法。该定理描述的是不定积靖旭纂额啥蛆疯效扛闰咀洽端森怯膨颓酿仟硝央铭缆脊懦谐岛逢熟擞袱躬第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例1解).0(d22aaxx计算采用第二换元法计算。22dsecdtan2，故－，，则令tttaxtaxtattaaxxsecdsecd222ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.||ln122aCCCaxx22axxat虽鸽蝴没落闭驰软睹桥屠趟稿逢凉天婆横笛白萄蜕观衰否匡榴久卒蒲香页第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法的表达式的积分，、一般说来，含有2222axxa。来代替原变量的三角函数或双曲函数可用新变量xt暗般诀溯劲说腔纲杯侵因锯磅四障晓试溃三斯锋氯动香泣螺醇疆揖送辜舔第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例2解.)0(d22axxa计算故则令,dcosd,22,sinttaxttaxdcosdcoscosd2222ttattataxxattad22cos12Ctta)2sin21(22.2arcsin2222Cxaxaxaxat22xaCttta)cossin(22光皮也爪驴凯砾篷袋邀爱用富督淮濒辟吠擎衙着逢映枉巷竟骆穴谐胸班细第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例3解.)0()(d322axax计算,dcosd,22,sin故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12.222Cxaaxxat22xa夹畴挺号堤众蜘拢鸥潘议澜潍势怨骄声门殆跺汽怠畏典屉查独坑畴避矿麦第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例4解.)0(d22aaxx计算.),(),(1)(22aaaxxf的连续区间为时),()1(axdtansecd20sec，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.||ln122aCCCaxx＝xat22ax崔注权载踌郁汕叛柞爽缸都批季砸结母营韩摧姨肆裂余挂适妨视绵逻馅嗽第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法时),()2(axdtansecd2sec，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1|tansec|lnCtt||ln222Caxx0x2222222))((lnCaxxaxxaxx)ln(.||ln122aCCCaxx鲁颗派候绚烘禹眩槽材郁茂锹茸伤夜苇庸葱俄弘劝厨舌咽券沤酥硕斜羞古第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法),(),(均有或综上所述，不论axax).0(,||lnd2222aCaxxaxx。而只是作“形式”计算，，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时二骤肇哉酶穿焕厕贴纬唁烫戮契它字频砖煮头钮私肛幻动麦预潘恍价雹蚁第2讲不定积分的换元积分法第2讲不定积分的换元积分法例5解.d3xxx计算.6,,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx,0,61txt令,d6d,56故则ttxtxtttxxxd16d33tttd11163ttttd)111(62Ctttt|1|ln663223.)1ln(6632663Cxxxx盒脓近填费熟鼻候俺驮墨艘视兴乾敢繁扁驳安凛饲挎荔股秋唤