关于抛物线焦点的公式

北京四中撰稿：安东明编审：安东明责编：辛文升本周重点：圆锥曲线的定义及应用本周难点：圆锥曲线的综合应用本周内容：一、圆锥曲线的定义1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P||PF1|+|PF2|=2a,(2a|F1F2|)}。2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a|F1F2|)}。3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e1时为双曲线。二、圆锥曲线的方程。1.椭圆：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a0,b0）或-=1（a0,b0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p0），x2=±2py（p0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（ab0）（1）范围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a0,b0）（1）范围：|x|≥a,y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p0)（1）范围：x≥0,y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。例3.如图：椭圆+=1（ab0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,∵PF1⊥x轴，∴|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,∴|PF1|=。∵PO//AB，∴ΔPF1O∽ΔBOA,∴=c=ba=c,∴e==。又解，∵PF1⊥x轴，∴设P(-c,y)。由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin|PF1|+|PF2|=2a=20，4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，|PF1|·|PF2|=∴SΔ=××=。解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|，由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP，由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP，4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos，144=100+=，=64(1-)=64×，SΔ=6|yP|=6×=。注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。例5.椭圆+=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|，|PF2|。分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4，|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36，。例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10，|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。例7.已知：P为双曲线-=1（a0,b0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O＇,A1A2中点为O，|OO＇|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O＇半径为|PF1|由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2||PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'|∴两个圆相内切。注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。例8.已知：过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|,|QQ＇|=|QF||PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。五、课后练习1.椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF1F2的面积为（）A、20B、22C、28D、242.若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=()A、-B、C、-2D、23.焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（）A、y2=16x或x2=16yB、y2=16x或x2=-16yC、x2=-12y或y2=16xD、x2=16y或y2=-12x4.已知：椭圆+=1（ab0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+为定值。六、练习答案：1.D2.B3.C4.设P(|OP|cosα,|OP|sinα),Q(|OQ|cos(α+90°),|OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角公式，+=。