上海市普陀区2012届高三二模数学试题(理)

2011学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学试卷（理科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分.1．设函数11)(xxf的反函数为1()fx，则1(2)f__________.2．设集合{|02}Mxx，集合}034|{2xxxN，则NM________.3．方程233log(45)log(1)xxx的解是x____________.4．若复数z满足izi2（其中i是虚数单位），则|1|z_______________.5．抛物线28xy的准线方程是______________.6．在极坐标系中，直线1)sincos2(与直线0sincos夹角的余弦值为______________.7．在二项式7)1(ax)(Ra的展开式中，3x的系数为21，则363lim()nnaaa的值是__________.8.角的终边经过直线02yx与曲线23yx的交点，则cos2()____________.9．行列式111xmx的值在[1,1]x上恒小于0，则实数m的取值范围是__________.10．在ABC中，||1AB，||2AC且AB与AC的夹角为3，则BC边上的中线AD的长为______________.11．已知正四棱柱1111DCBAABCD的八个顶点都在同一球面上，若1AB，21AA,则A、C两点间的球面距离是.12．某学生在参加语、数、外三门课程的学业水平考试中，取得A等第的概率分别为54、53、52，0123()P6125ab24125且三门课程的成绩是否取得A等第相互独立。记为该生取得A等第的课程数，其分布律如表所示，则数学期望E的值为______________.13．点),(yxQ是函数122xy图像上的任意一点，点(0,5)P，则PQ、两点之间距离的最小值是______________.14．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是_____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题选对得5分.15．“2a”是“函数()||fxxa在)3[上是增函数”的（)A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.非充分非必要条件.16．下列命题中，正确的是（）A.若||||ab，则ab或ab；B.若0ab，则0a或0b；C.若0ka，则0k或0a；D.若a、b都是非零向量，则||||abab.17．已知函数()cos(2)fxx满足()(1)fxf对Rx恒成立，则（）A.函数(1)fx一定是偶函数；B.函数(1)fx一定是偶函数；C．函数(1)fx一定是奇函数；D.函数(1)fx一定是奇函数.18．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有kk(N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为)(kp，根据统计得到)5(0)50()0()21()(kkpkpk，，，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（）A.158；B.74；C．6332；D.3116.三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）如图所示，三棱锥ABCD中，AD底面BDC,侧棱AB与底面BCD成60角，90BDC,且2DCBD，E是BC的中点，求异面直线AE与BD所成角的大小（结果用反三角表示）.20．（本题满分12分，其中第一小题6分，第二小题6分）已知向量)cos23sin21,21(xxa和向量(1,())bfx，且ab∥.（1）求函数()fx的最小正周期和最大值；（2）已知ABC的三个内角分别为CBA,,，若有3)3(Af，7BC，721sinB，求AC的长度.21．（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）图1EDCBA第19题图输入,n开始1,0,0iSTiSSa2iTTa输出,STin结束第22题图1ii是否由等式iikk2)1(2(i是虚数单位)成立的所有正整数k，按从小到大顺序排列所形成的数列记为{}na，nS是数列{}na的前n项和，且数列{}nb满足关系：1nSbnnn(N).（1）试求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）若甲数列的每一项都是乙数列的项，且乙数列中至少有一项不是甲数列的项，则称甲数列是乙数列的真子数列.试证明：数列{}nb是数列{}na的真子数列。22．（本题满分18分，其中第一小题5分，第二小题6分，第三小题7分）已知数列{}na是仅从1,0,1这三个整数中取值所得到的数列，为常数，经过右框图中的程序处理，输出S和T.（1）若输入50n及一个确定的值，且输出的S和T分别满足50S，34T.试求总体12,,,naaa的标准差；（2）若输入10n，1，且输出的S和T分别满足6S，30T.试求满足条件的数列{}na的个数；（3）已知数列{}na中恰有54项的值为0，且输出的S的值为20，若对于任意的4都有106T恒成立，试求数列{}na的项数n的最小值.23．（本题满分18分，其中第一小题4分，第二题7分，第三小题7分）以椭圆C：)0(12222babyax的中心O为圆心，22ba为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，且满足2AB，OFBOABSS26.（1）求椭圆C及其“准圆”的方程；（2）若椭圆C的“准圆”的一条弦ED与椭圆C交于M、N两点，试证明：当0ONOM时，弦ED的长为定值；（3）对于给定的椭圆C，若点P是下列三点之一时，是否存在以P为一个顶点的“准圆”的内接矩形，使椭圆C完全落在该矩形所围成的区域内(包括边界)？若存在，请写出作图方法，并予以证明；若不存在，请说明理由.说明：对于下列三点只需选做一种，满分分别是①2分，②5分，③7分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。①(,)Pab；②22(0,)Pab；③射线)0(3xxy与椭圆C的“准圆”的交点P.